狄拉克δ函数，冲激响应

1. 互相关函数的概念和性质

   对于各态历经随机过程，两个随机信号x(t)和y(t)的互相关函数Rxy(t)定义为：

（2.42）

   时移为t的两信号x(t)和y(t)的互相关系数为：

                                  （2.43）

 

2. 狄拉克δ函数（Dirac Delta function），有时也说单位脉冲函数。通常用δ表示。在概念上，它是这么一个“函数”：在除了零以外的点都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。严格来说狄拉克δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的。但可以用分布的概念来解释，称为狄拉克δ分布，或δ分布，但与费米-狄拉克分布是两回事。在广义函数论里也可以找到δ函数的解释，此时δ作为一个极简单的广义函数出现。

在实际应用中，δ函数或δ分布总是伴随着积分一起出现。δ分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和概率论里都和很多数学技巧有关。

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在信号与系统学科中，冲激响应(或叫脈衝響應)一般是指系统在输入为单位冲激函数时的输出（响应）。对于连续时间系统来说，冲激响应一般用函数h(t;τ)来表示，相对应的输入信号，也就是单位冲激函数满足狄拉克δ函数的形式，其函数定义如下：  

并且，在从负无穷到正无穷区间内积分为1：

       

在输入为狄拉克δ函数时，系统的冲激响应h(t)包含了系统的所有信息。所以对于任意输入信号x(t)，可以用连续域卷积的方法得出所对应的输出y(t)。也就是：

 

对于离散时间系统来说，冲激响应一般用序列h[n]来表示，相对应的离散输入信号，也就是单位脉冲函数满足克罗内克δ的形式，在信号与系统科学中可以定义函数如下：

同样道理，在输入为δ[n]时，离散系统的冲激响应h[n]包含了系统的所有信息。所以对于任意输入信号x[n]，可以用离散域卷积（求和）的方法得出所对应的输出信号y[n]。也就是：