ACM-矩阵之快速幂

来源：互联网发布：快递如何开发淘宝客户编辑：程序博客网时间：2024/05/29 14:08

一般意义上，求某一个矩阵的幂次，我们可以通过不断的迭代进行，但是要注意每一次运算都是O（n^3）的复杂度，如果幂次比较大，对时间要求紧一点，直接暴力明显就不行了。那应该怎么办呢？答案就是快速幂算法。这个算法的实现是依据矩阵乘法的结合率以及二分法。我们知道矩阵乘法具有结合律，如A^19 = A*A*...*A*A = (A*...*A) * (A*A)*A = A^16 * A^2 * A，走到这里大概就能知道快速幂的思想了，即二分因子，比如我们可以先算出因子A^2，然后由A^2推出A^4，再由A^4推出A^16，这样一来复杂度就从原来的O（n）降到了O（log（n））。

规律倒是出来了，那具体应该怎样实现呢？这里需要借助于二进制，我们知道任何整数都可以写成二进制的形式，如果将二进制看成离散的位的话，并且和前面所说的因子有联系的话，那么就可以通过这种内在的关系写出快速幂算法。可能大家已经发现了，在等式A^19 = A^16 * A^2 * A中，16，2，1不就是19对应二进制（10011）中值为1的位的权值么，所以我们就可以利用这个方法去算其中的某一个因子，进而求出答案了，下面给出核心算法：

Mat pow(Mat a, int k){    Mat c;    int i, j;    c = Mat();    c.n = a.n;    c.m = a.n;    for(i=1; i<=a.n; ++i)  // 初始化为单位矩阵        c.mat[i][i] = 1;    while(k)    {         if(k & 1)          // 二进制位为1则执行            c = c*a;        a = a*a;        k >>= 1;    }    return c;}

上述代码中的Mat是上一次我们谈到的矩阵结构体，c矩阵需要初始化为单位矩阵，矩阵乘法也是前面已经重载过的。上述代码中，需要注意的是二进制的用法，即while循环，其实还有其它许多类算法都巧妙的用到了二进制，如树状数组、状压dp等，这些需要慢慢体会了。其实，上面的思想也适用于普通整数的大幂次求解，只需要将矩阵看成普通的整数即可，详见这里，传送门（点击打开链接）。

好了，有了快速幂算法，我们就能比较快速的算出矩阵的幂次了，下面就练习一道题，HDOJ：1575，时空转移（点击打开链接），题目如下：

Tr A

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2953 Accepted Submission(s): 2200

Problem Description

A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。

Output

对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。

Sample Input

22 21 00 13 999999991 2 34 5 67 8 9

Sample Output

题意：

赤裸裸的矩阵幂运算。

分析：

一看到幂次k的范围就知道不能暴力，必须要用快速幂了，最后再将对角线上的元素加起来即可。

源代码：

#include <cstdio>#include <cstring>const int MAXN = 15;const int MOD = 9973;struct Mat{    int n, m;    int mat[MAXN][MAXN];    Mat()    {        memset(mat, 0, sizeof(mat));        n = m = MAXN;    };    Mat operator * (Mat b)    {        Mat c;        c = Mat();        c.n = n;        c.m = b.m;        for(int i=1; i<=n; ++i)                       // 注意这里从1开始            for(int j=1; j<=b.m; ++j)            {                //if(mat[j][i] <= 0)  continue;       // 剪枝                for(int k=1; k<=m; ++k)                {                    //if(b.mat[i][k] <= 0) continue;  // 剪枝                    c.mat[i][j] += (mat[i][k]*b.mat[k][j]) % MOD;                    c.mat[i][j] %= MOD;                }            }        return c;    }    Mat pow(Mat a, int k)    {        Mat c;        c.n = a.n;        c.m = a.n;        for(int i=1; i<=a.n; ++i)  // 初始化为单位矩阵            c.mat[i][i] = 1;        while(k)        {            if(k & 1)                c = c*a;            a = a*a;            k >>= 1;        }        return c;    }    void in(int x, int y)    {        n = x;        m = y;        for(int i=1; i<=x; ++i)            for(int j=1; j<=y; ++j)                scanf("%d", &mat[i][j]);    }};int main(){//freopen("sample.txt", "r", stdin);    int cas;    scanf("%d", &cas);    while(cas--)    {        int n, k;        Mat data;        scanf("%d%d", &n, &k);        data.in(n, n);        data = data.pow(data, k);        int ans = 0;        for(int i=1; i<=n; ++i)            ans = (ans+data.mat[i][i]) % MOD;        printf("%d\n", ans);    }    return 0;}

好了，到这里快速幂就告一段落了，不过还有一种快速幂的经典变形不得不说，那就是有矩阵A，求A + A^2 + A^3 + ... + A^k，当k很大时，就算用快速幂也只能快速的求出单个幂次，所以它的经典性就出来了，即两次二分。用快速幂二分求出A^i，然后再二分求和，即A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 = (A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)。如此一来，就不会超时啦！有一道类似的题目，POJ：3233，时空转移（点击打开链接），下面也给出一份源代码吧：

#include <cstdio>#include <cstring>const int MAXN = 35;int MOD;struct Mat{    int n, m;    int mat[MAXN][MAXN];    Mat()    {        memset(mat, 0, sizeof(mat));        n = m = MAXN;    };    Mat operator * (Mat b)                            // 重载乘法    {        Mat c;        c = Mat();        c.n = n;        c.m = b.m;        for(int i=1; i<=n; ++i)                       // 注意这里从1开始            for(int j=1; j<=b.m; ++j)            {                //if(mat[j][i] <= 0)  continue;       // 剪枝                for(int k=1; k<=m; ++k)                {                    //if(b.mat[i][k] <= 0) continue;  // 剪枝                    c.mat[i][j] += (mat[i][k]*b.mat[k][j]) % MOD;                    c.mat[i][j] %= MOD;                }            }        return c;    }    Mat operator + (Mat b)                             // 重载加法    {        Mat c;        c.n = n;        c.m = m;        for(int i=1; i<=n; ++i)            for(int j=1; j<=m; ++j)                c.mat[i][j] = (mat[i][j]+b.mat[i][j]) % MOD;        return c;    }    Mat pow(Mat a, int k)                              // 快速幂    {        Mat c;        c.n = a.n;        c.m = a.n;        for(int i=1; i<=a.n; ++i)                      // 初始化为单位矩阵            c.mat[i][i] = 1;        while(k)        {            if(k & 1)                c = c*a;            a = a*a;            k >>= 1;        }        return c;    }    void in(int x, int y)                              // 输入矩阵    {        n = x;        m = y;        for(int i=1; i<=x; ++i)            for(int j=1; j<=y; ++j)            {                scanf("%d", &mat[i][j]);                mat[i][j] %= MOD;            }    }    void out()                                         // 输出矩阵    {        for(int i=1; i<=n; ++i)        {            printf("%d ", mat[i][1]);            for(int j=2; j<=m; ++j)                printf("%d ", mat[i][j]);            puts("");        }    }};Mat tmp;Mat slove(Mat init, int k){if(k == 1)return init;tmp = slove(init, k>>1);                           // 递归二分求解    tmp = tmp + tmp * init.pow(init,k>>1);if(k & 1)return tmp + init.pow(init,k);elsereturn tmp;}int main(){//freopen("sample.txt", "r", stdin);    int n, k;    while(~scanf("%d%d%d", &n, &k, &MOD))    {        Mat data;        tmp.n = tmp.m = n;        data.in(n, n);        data = slove(data, k);        data.out();    }    return 0;}

这份代码重用了几个以前写过的函数，所以看起来和前面的有些相似，但是原理需要注意，那就是二进制与二分的思想。下一文章我们继续讨论矩阵的另一个经典应用，递推式的求解，传送门（点击打开链接）。

好了，快速幂就说到这里了，需要熟练掌握的话就只有多多练习了，HDOJ：2157。

0 0