uva 12045 （矩阵快速幂）

题意：

一个长度为正数的字符串，只包含“a"和"b"两种字符。

每次操作，把所有的b变成ab，a变成b。

如S（1） = ab， 则S（2）=b(ab) =bab 

       记L（n)为第n个串的长度。

      给出L(n) = X , L(m) = Y, L(k)

做法：

设S(n)中字符a、b的个数分别为a（n）、b（n），则L（n）= a（n） + b（n）

很明显有 ａ（ｎ＋１）＝ｂ（ｎ），b（n+1) = a(n）＋ｂ（ｎ）

即满足斐波那契数列的性质。

于是可以通过构造转移矩阵，利用快速幂，来得到任意两项之间的关系。

不妨设ｎ　＜　ｍ，假设得到的矩阵为

　｜ａ　ｂ｜

　｜ｃ　ｄ｜

则有 a * a(n) + b * b(n) = a(m)

c * a(n) + d * b(n) = b(m)

又

a(n) + b(n) = L(n) = X

a(m) + b(m) = L(m) = Y

于是可解出a(n), b(n) ，若小于0 说明字符个数小于0，明显不合题意。

类似可算出a(1),b(1)，同样必须保证大于等于0

最后再推出k的情况即可。

#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;const int MOD = 1000000007, INF = 1e9;typedef long long ll;const int N = 2;struct Mat {    ll mat[N][N];    void init() {        for(int i = 0; i < N; i++)            for(int j = 0; j < N; j++)                mat[i][j] = i || j ? 1 : 0;    }    void init2(int x) {        for(int i = 0; i < N; i++)            for(int j = 0; j < N; j++)                mat[i][j] = i == j ? x : 0;    }    Mat operator * (const Mat &ano) {        Mat res;        res.init2(0);        for(int i = 0; i < N; i++)            for(int j = 0; j < N; j++)                for(int k = 0; k < N; k++) {                    res.mat[i][j] += mat[i][k] * ano.mat[k][j];                    res.mat[i][j] %= MOD;                }        return res;    }};Mat quickPow(Mat A, int n) {    Mat res;    res.init2(1);    while(n) {        if(n & 1)            res = res * A;        A = A * A;        n >>= 1;    }    return res;}// a * x + b * y = s1// c * x + d * y = s2void fun(ll a, ll b, ll s1,         ll c, ll d, ll s2, ll &x, ll &y) {    x = y = -1;    if(b * c != d * a) {        y = (a * s2 - c * s1) / (a * d - b * c);        if(a)            x = (s1 - b * y) / a;        else if(c)            x = (s2 - d * y) / c;        if(a * x + b * y != s1 ||           c * x + d * y != s2)           x = y = -1;    }}int main() {//    freopen("in.txt", "r", stdin);    int t, n, x, m, y, k;    ll ans;    Mat A;    scanf("%d", &t);    while(t--) {        scanf("%d%d%d%d%d", &n, &x, &m, &y, &k);        if(n > m) {            swap(n, m);            swap(x, y);        }        ll an, bn;        A.init();        A = quickPow(A, m - n);        fun(1, 1, x, A.mat[0][0] + A.mat[1][0],            A.mat[0][1] + A.mat[1][1], y, an, bn);        if(an < 0 || bn < 0) {            puts("Impossible");            continue;        }        ll a1, b1;        A.init();        A = quickPow(A, n-1);        fun(A.mat[0][0], A.mat[0][1], an,            A.mat[1][0], A.mat[1][1], bn,            a1, b1);        if(a1 < 0 || b1 < 0){            puts("Impossible");            continue;        }        A.init();        ll ak, bk;        if(k >= n) {            A = quickPow(A, k - n);            ak = an * ((A.mat[0][0] + A.mat[1][0]) % MOD);            bk = bn * ((A.mat[0][1] + A.mat[1][1]) % MOD);            ak %= MOD, bk %= MOD;            ans = ak + bk;        } else {            A = quickPow(A, n - k);            fun(A.mat[0][0], A.mat[0][1], an,                A.mat[1][0], A.mat[1][1], bn,                ak, bk);            if(ak < 0 || bk < 0) {                puts("Impossible");                continue;            }            ak %= MOD, bk %= MOD;            ans = ak + bk;        }        ans %= MOD;        printf("%d\n", (int)ans);    }    return 0;}