我们的空间是圆的么——基于Poicare的宇宙模型浅谈

概 述

    文明伊始人类对于时空的困惑与探寻从未停歇过。马儿跑的快、鱼儿潜的深、鸟儿飞的高，但人类却跑的不快潜的不深飞的不高，为什么？原因在于马儿跑的快但它不会想自己为什么会跑的快；鱼儿潜的深但它不会想自己为什么会潜的深；鸟儿飞的高但它不会想自己为什么会飞的高，而人类却会思考。当每天面对着太阳从东方升起从西方落下会想：太阳是不是绕着地球转呢？困惑使人们幻想着一个又一个诗意的神话，同时不懈的探寻与求索又使人类跳出一个又一个思想的藩篱向着下一个奥林匹斯山进发。渴望与现实就如同智慧翅膀的两翼载着人们洞穿整个宇宙！本文从双曲几何中的Poicare模型讲起，通过对哈勃红移现象以及星系坍缩现象的揭示，给出作者本人对于时空的理解（仅供参考）。

 

一、 Poicare模型

    欧式几何的出现极大程度上满足了人们对于自然界描述的欲望，但随着对欧式几何的深入研究，越来越多的数学家怀疑“第五公设”作为公设的合理性。一些数学家试图通过其余四条公设来证明“第五公设”但最终找到的都是“第五公设”的等价命题。此时一些数学家想象通过修改“第五公设”来创建另一种形式的几何，其中高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人。他早就知道试图证明这一公设的努力是白费力气。他曾告诉他的朋友说，早在1792年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设并不成立。发展至今的非欧几何中有一种几何叫做双曲几何，它认为在同一平面内过一点作与已知直线平行的直线有无数多条而并非欧式几何中的“有且仅有一条”。双曲几何又称罗巴切夫斯基几何，在历史上曾有三个模型来解释这种几何，其中最优美自然的模型就属Poicare模型。在Poicare模型中Poicare将圆盘D_R = {(x, y) | x²+ y² < R²}考虑为罗巴切夫斯基平面，并把D_R中垂直圆周D_R = {(x, y) | x² + y²< R²}的圆弧或直线弧视为非欧直线，用交比的对数定义了非欧距离而非欧直线的夹角却与欧式几何中的一致，如图1所示。

图1 非欧直线与Poicare距离

在上图中ef与ad均为非欧直线，b、c两点的非欧距离定义为ln(b,c; a, d)^-1，其中(b, c; a, d)为b、c、a、d四点之间的交比(b-a)(c-d) / (b-d)(c-a)。根据分式线性变换以及函数的泰勒展开式得到Poicare度量的概念：

 

    其中ds为Poicare平面内的Poicare距离，dz为其对应的欧式距离，R为Poicare圆盘的半径，z为D_R中的任意一点。

 

二、Hubble定律

    美国天文学家艾德温·哈勃认为河外星系的视向退行速度与距离成正比，即距离越远视向速度越大。

    在此假设D_R的圆心o为参考坐标系的原点并将参考星系放到o处，并且假定欧式度量为我们的实际观测度量（这点很重要）。如果假定宇宙大爆炸理论成立，某一星系（姑且称其为“游离星系”）从o点出发在Poicare度量下以均匀速度Δv_s向D_R边界运动，此时存在：

此时取Δv_s方向为坐标系的x轴则有：

   

令，则，其中，再根据Hubble定律：，即：

 （其中）

根据函数的单调性则有：R随着z的增大而增大，即R=g(z)并且为增函数，也就是说宇宙的膨胀程度与游离星系离开o点的距离有关。

 

三、星系坍缩

    在恒星生存期的某一阶段其内部温度会降低，这样一来引力将会成为一个主导因素，此时恒星开始坍缩为“白矮星”并将原子拆分成一个个电子、质子和中子；在某些条件下引力战胜电子之间的斥力并迫使电子和质子结合成中子，此时坍缩成“中子星”，某些条件下引力甚至可以战胜中子结构的抗拒继续坍缩。

    我们知道在Poicare模型下：由可知，当一个图形在非欧刚体运动中自o点附近向D_R边界运动，其图形的欧式外观将由大变小，最后“消失于天边”，如图2所示。

 

       图2 Poicare模型下的全同三角形

 

    在此我们令ds为游离星系在x轴上的Poicare长度，dz为游离星系在x轴上的欧式长度，则有：

 

当游离星系运动到z+Δz、z+2Δz位置时有：

令、则有：

由于游离星系在Poicare度量上匀速运动，显然在Poicare度量上由z运行到z+Δz要比z+Δz运行到z+2Δz所需的时间短，这也就说明了在Poicare度量的时间下，向D_R边界旅行的星系在欧式度量下坍缩的程度越来越弱。

 

四、猜想

    在Poicare度量下一个非欧刚体（游离星系）匀速向宇宙边界（D_R）运动，那么当它运行到D_R边界后会出现什么情况呢？根据显然有当R=z时哈勃常量为0，之后又会如何呢？可能有两种情况：

    1、冲出D_R的束缚。由于向D_R边界旅行的星系在欧式度量下坍缩的程度越来越弱，在冲出D_R的前一刻可以认为游离星系已经坍缩到了极点，当脱离D_R的束缚后会重新爆炸膨胀成一个新的宇宙。

    2、“原路”返回。此时H_c为负数也就是说可能会出现蓝移现象。

    根据宇宙大爆炸理论，宇宙形成初期有不同的星系沿着不同的方向以不同的速度做着相互远离的运动。也就是说在空间中的不同方向存在着不同膨胀系数的D_R，如图3所示。

图3 不同膨胀系数的D_R

    根据热力学第二定律，我们知道最可能的状态也是最稳定的，因为它是最无序的，所以我们有理由假设宇宙中星系的分布是处于极度无序状态。在这种前提下我们所生活的宇宙可以认为是各向异性的无序膨胀“球体”。

 

参考文献：

    《霍金讲演录》 史蒂芬丶霍金

    《并不神秘的非欧几何》 李忠

    《时间、空间和万物》 里德雷