poj 3904 容斥原理+质因数分解

题意：给你一串数字，问选择4个数且这四个数的最大公因数为1的选法为多少种

解法：

很容易想到容斥原理，答案为选择四个数的所有种数-四个数存在最大公因数为质数+四个数存在最大公因数为两个质数之积-四个数存在最大公因数为三个质数之积。。。

就是处理各个由质因子相乘得到的因子的数量比较麻烦。

首先，题目给的数据范围是10000，而2*3*5*7*11*13>10000 所以每个数的质因子最多只有五个

那么对于每个数，我们只要求出它的几个质因子组合而成的数目就好，这里有个优化，假设这个数有a个质因子，那么由其中i个质因子相乘得到的数和由其中a-i个质因子相乘得到的数一一对应，二者乘积为这个数所有质因子的乘积，所以4个和5个的组合是不用重新求的，只要用所有数的乘积除一下就好，那么最多循环三次取三个不同的质因子，时间复杂度减为5*5*5*10000，同时记录这个数是由几个数相乘得到。

最后求出了每个由出现的质数组成的因子的数量，这个因子的大小不会超过10000，根据因子的质因子数确定系数的正负然后直接用容斥原理就可以了。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#include<vector>using namespace std;#define LL __int64int n,cnt[10005],num[10005];int mul_cnt[10005];LL C[10005][10],ans;bool isprime[10005],mark[10005];//每个因子该加还是减vector<int> V[10005];//每个数的因子void init(){memset(mul_cnt,0,sizeof(mul_cnt));memset(cnt,0,sizeof(cnt));memset(mark,0,sizeof(mark));ans=0;}void input(){for(int i=0;i<=n-1;i++){scanf("%d",&num[i]);cnt[num[i]]++;}n=unique(num,num+n)-num;}void pre(){for(int i=0;i<=10000;i++)for(int j=0;j<=i&&j<=4;j++)if(j==i||j==0) C[i][j]=1;else C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];for(int i=2;i<=10000;i++) if(!isprime[i]) {//1-10000每个数的质因子V[i].push_back(i);for(int j=2*i;j<=10000;j+=i){isprime[j]=1;V[j].push_back(i);}}return;}void cnt_M(){for(int i=0;i<=n-1;i++){int a=V[num[i]].size(),sum=1;if(a==1) {mul_cnt[V[num[i]][0]]+=cnt[num[i]];mark[V[num[i]][0]]=1;continue;}for(int j=0;j<a;j++){mul_cnt[V[num[i]][j]]+=cnt[num[i]];//每个因子出现的次数sum*=V[num[i]][j];mark[V[num[i]][j]]=1;}if(a==2) {mul_cnt[sum]+=cnt[num[i]];continue;}if(a-1>1){for(int j=0;j<a;j++){mul_cnt[sum/V[num[i]][j]]+=cnt[num[i]];if(a%2==0) mark[sum/V[num[i]][j]]=1;}}if(a==3) {mul_cnt[sum]+=cnt[num[i]];mark[sum]=1;continue;}for(int j=0;j<a;j++)for(int k=j+1;k<a;k++){int tmp=V[num[i]][j]*V[num[i]][k];mul_cnt[tmp]+=cnt[num[i]];if(a-2>2)//如果四个质因子的话a-2=2会加重，所以要判断大小{mul_cnt[sum/tmp]+=cnt[num[i]];if(a%2) mark[sum/tmp]=1;}}if(a==4) {mul_cnt[sum]+=cnt[num[i]];continue;}mul_cnt[sum]+=cnt[num[i]];mark[sum]=1;}for(int i=2;i<=10000;i++){int a=1;if(mark[i]) a=-1;ans+=a*C[mul_cnt[i]][4];}}int main(){pre();while(scanf("%d",&n)!=EOF){init();input();ans=C[n][4];cnt_M();printf("%I64d\n",ans);}return 0;}