softmax regression

我们给出一个GLM的例子，是logistic regression的推广，应用于多类分类。所以，我们有y ∈{1, 2, . . . , k }，我们用k个参数φ1, . . . , φk来表示k个输出的概率，由于第k个参数是多余的，所以我们只用k-1个参数，而

为了将其描述为指数族，我们将定义

在这里，T(y)不再等于y，而是一个k-1维的向量。

我们引入一个类似于布尔函数的东西1{·}，满足1{True} =1, 1{False} = 0。例如，1{2 = 3}= 0, 1{3 =5 − 2} = 1。所以，对于T(y)，有

然后有

紧接着

其中

链接函数：

推出响应函数：

这个将η映射到φ的函数被称为softmax函数

然后有

这个应用于y ∈ {1, . . . , k }的分类模型，被称为softmax regression。

对于给定的

为了得到这个模型的θ，我们可以写出log-likelihood

然后我们可以利用梯度下降或者牛顿法寻求其最大值。

下面介绍Cost Function：

为了与logistic regression的cost function相一致，我们写成下面的形式：

为了使cost function最小，我们要先计算梯度：

但是就像是线性回归与logistic regression一样，我们引入惩罚因子（Weight Decay）来抑制过拟合（overfitting），我们的cost function就变成了这样：

梯度为：

最小化cost function与最大化最大似然估计等价