文本比较算法剖析（1）-如何确定最大匹配率

最近看到有人在找关于文本比较的算法，刚好最近休假，研究了一下，终于找到一个简单有效的算法，和大家分享一下。

算法本身很简单，但是要说清楚思路和原理就比较复杂了，打算分两次发表（明天就要上班拉！），分别对应文本比较算法中的两个主要问题：

1。如何确定最大匹配率； 
2。如何确定最优的匹配路径；

算法本身是基于图论的，太麻烦了，所以不打算介绍整个思路，只将最后的结果详细解说给大家。有问题可以发邮件给我：[e-mail]

文本比较算法剖析（1）-如何确定最大匹配率

 

1. 首先，我们假设有两个串left和right,
    left="ABCACADF"
    right="BCXCADFESBABCACA"

    为了直观的分析问题，第一步，我用一个表格来逐个的比较left和right的每个元素：

图中，1 表示left 和 right 的某个元素是匹配的，0， 就是不匹配了， 那么， 现在的问题就是， 如何从表格中的左上角，找到一条路径，满足：
    1. 经过的值为"1"的单元格最多；
    2. 每次只能向右，或者向下，或者向右下方移动一格；
    3. 如果本次位置在值为"1"的格子上，只能向右下方移动一格；
    4. 如果移动到右边界或者下边界外，则终止。

2 .这其实就是一个有条件搜索最大权重路径的问题。但是，这里讲的是文本匹配问题，和图论相比，要简单很多。因为文本是流式的，两个文本之间的所有匹配关系一定是一个很规则的矩阵，这比图论中研究的情况要简单多了。

最先想到的是什么呢？迭代和递归，是不是？别着急，没有那么复杂的，我们来分析一下，再做打算。

我们先用手工标出从每个匹配点出发，一直到边界能够经过的最多匹配点个数，如下图所示：

各位可以自己手工做做，分析数量有限的图形，还是大脑比计算机好使。

3. 我们来分析一下，基本的思路是数学归纳法，呵呵，其实是递归算法的数学原型。

边界上的单元，不用说了，一定是最多只能找到一个匹配点。

而对于表格中的任意一个单元, 我们用 N(l,r) 来表示，对于它，按照上面的规则，它有3个邻接区域 A, B, C.

我们用N(l,r)来表示“将left的第L个元素和right的第R个元素匹配后，能够获取的最大匹配点数”。这个表述有点难以理解，从前面的“找到一个路径...”的观点出发，我们还可以这么说明N(l,r)的含义：“从第L行R列的单元格出发，满足所有4个条件的路径上能够经过的值为"1"的单元个数”。

因为N(l,r)的下一步一定是区域A,B,C中的一个，而且，如果(l,r)是一个匹配点，只能选择进入A区域；如果进入B,C，则(l,r)一定不是一个匹配点。因此，我们可以得到：
       N(l,r) = Max( V(l,r)+N(区域A), N(区域B), N(区域C) ) 。"V(l,r)表示单元(l.r)的值，=0表示单元(l,r)不是一个匹配点，=1表示单元(l,r)是一个匹配点"

而一个区域的最大匹配点数，就是从该区域的入口点出发，所能得到的最大匹配点数，即：N(区域[(a,b),(c,d)]) = N(a,b).  "区域[(a,b),(c,d)]的意思是：由点(a,b) 和点(c,d)所构成的矩形区域)"

那么，前式就变成了：

N(l,r) = Max( V(l.r)+N(区域A), N(区域B), N(区域C) ) 
         = Max( N(l+1,r+1)+V(l,r) , N(l,r+1),  N(l+1,r))

在excel中，我们可以验证一下，设置单元格L4的公式=MAX(L5,M5+B4,M4)，然后拷贝这个公式直到和前面的矩阵相匹配，我们得到的结果如下：

可以和手工分析的结果对照一下（上图中最右部分），可以看到，结果完全一致。

Yes! 现在已经接近大功告成拉！简单吧！现在，就是如何代码化的问题了。

要将上面的方法编程，还差一个问题：初始化。这个很简单，从Excel的计算结果我们就可以知道。在上面的单元格公式中，边界单元引用了空白单元，而我们知道excel对空白单元取值做算术运算时是按照0计算的，所以初始化为0就可以了。

 再从上面的分析可以知道：
1. 循环应该是从右向左，从下向上的；
2. 每个单元格的值只需要计算一次；
3. 计算N(l,r)时，需要引用3个值
因此，程序应该做逆序循环，用一个数组缓存N(l+1,r)和N(l+1,r+1)的值，用一个临时变量缓存N(l,r+1).

假设left有M个元素；right有N个元素，那么，这个程序的时间复杂度就是O(m.n), 空间复杂度就是Max(m,n).

好了，关于如何计算left和right的最大匹配数，就结束了。很简单，不是么？

from http://blog.csdn.net/clariones/article/details/1396880