文本比较算法剖析（2）-如何确定最优匹配路径

上回说到，如何确定最大匹配数。接下来，本次将简述如何确定最优匹配路径。仿照确定最大匹配数的算法，这个问题也非常容易解决，不知道这周当中，有没有哪位XDJM已经有了自己的解决方案呢？

有问题可以发邮件给我：[e-mail]

文本比较算法剖析（2）-如何确定最优匹配路径

确定最优匹配路径的问题，通常在做文件比较时要用到，它的意思是：在所有能够得到最大匹配点数的路径中，找出一条最短的路径。

让我们继续以上次的例子进行研究：

 

首先，我们仍然是手工标出能够得到最大匹配点数的所有路径。在手工绘制可用路径的时候，需要说明一下：

l         首先，这里我们以计算left的最优路径为例。计算right的最优路径和left是完全对称的；

l         在图中，向右移动一格，表示left的当前元素放弃和right的当前元素进行匹配，而和right的下一个元素进行匹配。如果进行文件比较的话，就是left文件的当前行前，插入right文件的当前行；

l         在图中，向下移动一格，表示left的当前元素放弃和right的当前元素进行匹配，而使用left的下一个元素和right的当前元素进行匹配。如果进行文件比较的话，就是left文件的当前行被删除；

l         在途中，向右下方移动一格，表示确定left和right的当前元素的匹配，使用left的下一个元素和right的下一个元素进行匹配。如果进行文件比较的话，就是left和right文件的当前行已经匹配，分别比较下一行。

l         由于left和right是流式的，所以每个元素只能匹配一次而且不能颠倒顺序，所以，在x和y方向上，只能保留一个匹配点，而且只能向下，向右，或者向右下方移动。

 

有了这些规则，我们就可以得到如下图中间红色粗线所示的4条可能的路径。

 

从上向下，依次编号为1,2,3,4号路径，分析如下：

1号路径表示（只说明含义，算法推导在后面）：

依次类推，可以得到其他路径的实际含义。需要说明的是，3号路径在选择第二个匹配点时，没有采用left[9]:right[1]的匹配关系，而是跳过left[9]，采用了left[11]:right[1]。这样，点(left[9], right[1])在3号路径上是“删除left第9行”的意思。

如果我将整个过程中在left上移动的距离纪录下来，就得到：

从图上就很容易看出，在left上移动最短的，也就是最优的路径，是4号路径。

是不是看起来毫无头绪？

别急，象上次一样，我们进行一个分析。

依然是归纳法，依然是找出元素D(l,r)的3个相邻区域A,B,C:

分析：

1.         如果点D(l,r)表示从left的第L个元素，right的第R个元素出发，匹配到矩阵边界后，在left方向上的最短路径长度（我更喜欢称之为depth），那么：

2.         如果点(l,r)是一个被确定的匹配点，那么下一步，只能选择进入A区域，到点(l+1,r+1)，所以得到：

D1      If (V(l,r)>0) then D(l,r) = 1 + D(l+1,r+1)
还记得V(l,r)和N(l,r)的定义么？可以看看文档《文本比较算法剖析（1）-如何确定最大匹配率》

3.         如果点(l,r)不是一个被确定的匹配点，那么下一步可以进入B或者C.

D2      如果进入B区域，那么意味着”插入right的第r行”，但是在left的位置保持不变，所以得到：
If (V(l,r) == 0) then D(l,r) = D(l,r+1)

D3      如果进入C区域，那么意味着”删除left的第l行”，在right的位置保持不变，但是在left的位置要加1。所以得到:
If (V(l,r) == 0) then D(l,r) = 1 + D(l+1,r)

那么现在有3个值D1，D2，D3，该如何取舍呢？直接取Min(D1,D2,D3)可以么？

 

呵呵，其实，我也是尝试了很多次以后才搞清楚的。大家可以用excel验证一下自己的想法。很简单的，大概验证整个算法，用10行左右的代码再加上excel本身提供的公式就足够了。

 

4.         不要忘记了前面说过的，”在所有能够得到最大匹配点数的路径中，找出一条最短的路径”,首先我们要保证得到最大匹配匹配点数，所以我们又有：

If (N(l,r+1) >= N (l+1,r) then

D(l,r) = D(l,r+1);

Else

   D(l+r) = 1 + D(l+1,r)

综合上面所有的分析，路径长度D(l,r)的计算公式就是：
    If (V(l,r) = 1) Then

        D(l,r) = D(l+1,r+1) + 1

    Else

        If (N(l,r＋1) >= N(l+1,r)) Then

            D(l,r) = D(l,r+1)

        Else

            D(l,r) = D(l+1,r) + 1

        End If

将公式写入excel自动计算，得到结果如图：

可以看到，结果正确。

 

OK。 结束了，文本比较的算法核心就介绍完了。

事实上，上面第四步给出的是优化后的结果，有兴趣的可以自己试着分析一下第4步是否应该这样计算，有什么情况我没有在这里讲的，但是结果为什么又是正确的。

 

有了这个算法，大家可以很快的编写自己的文本比较功能了。

计算最优路径的附加时间复杂度为0，因为它完全可以和计算最大匹配点数一起进行；附加的空间复杂度为Max(m,n), 因为它需要一个额外的数组纪录N(l+1)。

 

如果不计算最优路径的话，计算最大匹配点数的算法还可以再优化。

from http://blog.csdn.net/clariones/article/details/1412394