数据结构之二叉排序树

    小目录

         1.前言

         2.二叉排序树的查找

          3.二叉排序树的插入

          4.二叉排序树的删除

          5.二叉排序树的查找分析

                      

             1.前言

        前面的一篇博客介绍了静态查找(链接)，接下来将介绍动态查找。对动态查找经常进行的操作有:(1)查找某个特定的数据元素中是否存在查找表中；（2）检索某个特定元素的各种属性（3）在查找表插入一个元素；（4）在查找表中删去某个特定元素。

      二叉排序树（Binary Sort Tree）或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：

1. 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。
2. 左右子树也都是二叉排序树。

      由图可以看出，对二叉排序树进行中序遍历，便可得到一个按关键码有序的序列，因此，一个无序序列，可通过构一棵二叉排序树而成为有序序列。

                                           

   二叉排序树的数据存储结构如下:

typedef int TElemType;//二叉查找树的节点结构typedef struct BiTNode {TElemType data;struct BiTNode *lchild;struct BiTNode *rchild;}*BiTree;

   二叉排序树的查找：

  从其定义可见，二叉排序树的查找过程为：

1. 若查找树为空，查找失败。
2. 查找树非空，将给定值key 与查找树的根结点关键码比较。
3. 若相等，查找成功，结束查找过程，否则，
   a．当给key 小于根结点关键码，查找将在以左孩子为根的子树上继续进行，转①
   b．当给key 大于根结点关键码，查找将在以右孩子为根的子树上继续进行，转①

 其实现算法如下：

/** @description:递归查找二叉查找树是否存在否值*/BiTree SearchBST(BiTree T,TElemType key) {    if(!T || T->data == key)        return T;    else if(T->data > key)        return SearchBST(T->lchild,key);    else        return SearchBST(T->rchild,key);}

      

     3.二叉排序树的插入

    向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为key，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，待插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。

   如记录的关键码序列为：63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58，则构造一棵二叉排序树的过程如下：

                      

其实现算法如下：

/** @description:在二叉排序树中插入不存在的元素*/Status InsertBST(BiTree *T,TElemType key) {BiTree p,s;//二叉排序中不存在要插入的节点值if(!Search_BST(*T,key,NULL,&p)) {s = (BiTree) malloc(sizeof(struct BiTNode));if(!s)exit(OVERFLOW);s->data = key;s->lchild = NULL;s->rchild = NULL;//如果为根节点if(!p)*T = s;//小于当前值的则作为左孩子else if(key < p->data)p->lchild = s;//大于当前值的则作为右孩子else p->rchild = s;return TRUE;}elsereturn FALSE;}/** @description:查找算法判断查找是否成功，主要是配合插入操作* @more：*p指向当前节点，f直线父亲节点，查找成功则返回TRUE，否则返回FALSE*/Status Search_BST(BiTree T,TElemType key,BiTree f,BiTree *p) {if(!T) {*p = f;return FALSE;}//查找成功else if(T->data == key) {*p = T;return TRUE;}//小于当前节点的值则往左子树找else if(T->data > key ) return Search_BST(T->lchild,key,T,p);//大于当前节点值则往右子树找else return Search_BST(T->rchild,key,T,p);}

      4.二叉排序树的删除

        从二叉排序树中删除一个结点之后，使其仍能保持二叉排序树的特性即可。设待删结点为*p（p 为指向待删结点的指针），其双亲结点为*f，以下分三种情况进行讨论。

      1.*p 结点为叶结点，由于删去叶结点后不影响整棵树的特性，所以，只需将被删结点的双亲结点相应指针域改为空指针。如图9.6。

     2.*p 结点只有右子树pr 或只有左子树pl，此时，只需将pr 或pl 替换*f 结点的*p 子树即可。如图9.7。

     3.*p 结点既有左子树Pl 又有右子树Pr，可按中序遍历保持有序进行调整。

    由于第三中情况比较坑爹，下面是一张第三种情况的图，但是我觉得这里最主要的就是将中序遍历的前序和后继调整好就行。

                           

其实现算法如下：

/** @删除二叉排序树中某个节点*/Status DeleBST(BiTree *T,TElemType key) {if(!(*T))return FALSE;else {if((*T)->data == key)return Dele(T);else if((*T)->data > key)return DeleBST(&(*T)->lchild,key);else return DeleBST(&(*T)->rchild,key);}}/** @description:具体的删除操作* @more:1.如果左子树为空，则重新结它右子树；2.如果右子树为空，则重新结它的左子树3.如果左右子树都部位空，则用节点的前驱代替要删除的节点 且调整各项指针*/Status Dele(BiTree *p) {BiTree s,q;s = q = NULL;//如果左子树为空，则重新接为右子树if(! (*p)->lchild) {q = *p;*p = (*p)->rchild;free(q);}//如果右子树为空，则重新接为左子树else if(! (*p)->rchild) {q = *p;*p = (*p)->lchild;free(q);}//如果左右子树都不为空else {q = *p;s =(*p)->lchild;//向左转后，一直往右走直至尽头，为了找到p的前驱节点while(s->rchild) {q = s;s = s->rchild;}(*p)->data = s->data;//赋值//这里s节点为q的右孩子，s为p节点的前驱if(*p != q)q->rchild = s->lchild;//把s的左孩子结为q的右孩子else q->lchild = s->lchild;//重新结q的左孩子free(s);}return TRUE;}

     5.二叉排序树的查找分析

       二叉查找树中查找的运行时间与树T的高度成正比。因为有n个结点的树的高度小则为O(logn)，大则为O(n).；对于有n个关键字元素的数据项，高度为h的二叉查找树T，空间复杂度为O(n)；其中，查找元素，插入元素，删除元素的时间复杂度均为O(h)；二叉排序树的查找过程与二分法相似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。若查找成功，则走了一条从根结点到待查结点的路径；若失败，则是走了一条根结点到某个叶子结点的路径。因而，查找过程中和关键字的比较次数不超过树的深度。

由于含有n个结点的二叉排序树不唯一，因而有n个结点的二叉排序树的平均查找长度为树的形态有关；

     最好的情况：二叉排序树和二叉判定树形态相同；

     最坏的情况：二叉排序树为单支树，这时平均查找长度与顺序查找时相同；

      就平均性能而言，二叉排序树上的查找与二分查找相差不大，且二叉排序树上的插入和删除结点十分方便，不用大量移动结点。

以上

最后附上完整源码地址:GitHub