数据结构之平衡二叉树

            小目录

             1.前言

             2.平衡二叉树的插入

             3.平衡二叉树的查找

             4.平衡二叉树查找性能分析

         1.前言

          前言就是这玩意真蛋疼，比B树感觉理解难度大。平衡二叉树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉排序树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树高度之差的绝对值不超过1。

         将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子 BF ,那么平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是一 1 、 0 和 1. 只要二叉树上有一个结点的平衡因子的 绝对值大于 1 ,则 该二叉树就是不平衡的（如图）。

                                  

       2.平衡二叉树的插入

       在平衡二叉树上插入或删除结点后，可能使树失去平衡，因此，需要对失去平衡的树进行平衡化调整（这就是蛋疼之所在），这里仅仅是插入的介绍。但主要思想还是有的（我乱说的）：在插入前查找树中是否存在该节点，不存在进行相应的插入，否则不插入。在插入的过程根据情况进行左右单旋转或是双旋转，由于具体的过程羞涩难懂，这里就直接上书上的说法和图： 

                           

       这里做简单说明：a需要进行单右旋，b需要先进行左旋然后进行右旋,c需要进行单左旋，d需要先进行右旋然后进行左旋。

      具体的插入操作实现代码如下（当时看到这代码我就崩溃了，其中有一些不是很明白已经注释了，如果有明白的求大神教我啊）：

/** @description:插入平衡二叉树中不存在的元素值，并保证树的平衡性* @more:这个真心问候很多人的祖宗* @param Status *taller 用于判断是否有新节点加入树中*/Status InsertAVL(BiTree *T,TElemType key,Status *taller) {//当树或者子树为空的情况,则需要生成新节点if(!(*T)) {*T = (BiTree)  malloc(sizeof(struct BiTNode));(*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL;(*T)->data = key;//标记有新节点加入*taller = TRUE;(*T)->bf = EH;}else {//树中已经存在相同的节点值则不插入if((*T)->data == key) {*taller = FALSE;return FALSE;}//当前节点的值大于key则说明应该往左边找或插入if((*T)->data > key) {//没有插入则返回FALSEif(!InsertAVL( &(*T)->lchild,key,taller )) return FALSE;//已经插入到左边且左边增高if(*taller) {switch((*T)->bf) {//原本左子树比右子树高则在往左边加入新界点后，则需要做左平衡case LH:LeftBalance(T);*taller = FALSE;break;//原本左右子树高度相等，加入新节点后，现在左子树高于右子树case EH:(*T)->bf = LH;*taller = TRUE;break;//原本右子树高于左子树，加入新节点后，现在左右子树高度相等case RH:(*T)->bf = EH;*taller = FALSE;break;}}}else {if(! InsertAVL(&(*T)->rchild,key,taller)) {*taller = FALSE;return FALSE;}//成功往右插入节点，且右边增高if(*taller) {switch((*T)->bf) {//原来左子树高于右子树，现在加入新节点后，左右子树高度相等case LH:(*T)->bf = EH;*taller = FALSE;break;//原来左右子树高度相等，现在加入新节点后，右子树高度高于左子树case EH:(*T)->bf = RH;*taller = TRUE;break;//原来右子树高于左子树，现在往右加入新节点后，需要做右平衡case RH:RightBalance(T);*taller = FALSE;break;}}}}return TRUE;}/** @description:左平衡-->旋转处理*/Status LeftBalance(BiTree *T) {BiTree lc,rd;//指向*T的左子树根节点lc = (*T)->lchild;switch(lc->bf) {//新节点插在了*T的左孩子的左子树，则需要做单右旋处理case LH:(*T)->bf = lc->bf = EH;R_Rotate(T);break;//新节点插在了*T的左孩子的右子树上，则需要双旋处理，先左后右case RH:rd = lc->rchild;//关于LH和RH的情况不是明白，有明白的求教switch(rd->bf) {/*case LH:(*T)->bf = RH;lc->bf = EH;break;*/case EH:(*T)->bf = lc->bf = EH;break;/*case RH:(*T)->bf = EH;lc->bf = LH;break;*/}rd->bf = EH;//先做左旋转，针对*T的左孩子L_Rotate(&(*T)->lchild);//对*T做右旋转R_Rotate(T);break;}return TRUE;}/** @description:右平衡*/Status RightBalance(BiTree *T) {BiTree lc,rd;//指向*T的右孩子lc = (*T)->rchild;switch(lc->bf) {case RH:(*T)->bf = lc->bf = EH;L_Rotate(T);break;//新节点插入在*T的右孩子的左子树上case LH://指向*T的右孩子的左孩子rd = lc->lchild;switch(rd->bf) {/*case LH:(*T)->bf = EH;lc->bf = RH;break;*/case EH:(*T)->bf = lc->bf = EH;break;/*case RH:(*T)->bf = LH;lc->bf = EH;break;*/}rd->bf = EH;//先将*T的右孩子为根节点的子树右旋转R_Rotate(&(*T)->rchild);//再左旋L_Rotate(T);break;}return TRUE;}/** @description:左旋转*/void L_Rotate(BiTree *p) {BiTree lc;lc = (*p)->rchild;//这一行的作用不明白(*p)->rchild = lc->lchild;lc->lchild = *p;//将*p重新调整*p = lc;}/** @description:右旋转*/void R_Rotate(BiTree *p) {BiTree lc;//lc指向*p的左孩子lc = (*p)->lchild;//这一行的作用不明白(*p)->lchild = lc->rchild;//*p成为lc的右孩子lc->rchild = *p;//将*p指向调整*p = lc;}

      3.平衡二叉树的查找

      查找的算法和二叉排序树的查找是一样的，具体代码如下：

/** @description:平衡二叉树查找*/BiTree SearchTree(BiTree T,TElemType key) {//找到if(!T || T->data == key)return T;//往左子树找else if(T->data > key)return SearchTree(T->lchild,key);//往右子树找elsereturn SearchTree(T->rchild,key);}

        4.平衡二叉树查找性能分析

        在平衡树上进行查找的过程和二叉排序树相同，因此，在查找过程中和给定值进行比较的关键码个数不超过树的深度。那么，含有n 个关键码的平衡树的最大深度是多少呢？为解答这个问题，我们先分析深度为h 的平衡树所具有的最少结点数。假设以Nh 表示深度为h 的平衡树中含有的最少结点数。显然，N0=0，N1=1，N2=2，并且Nh=Nh-1+Nh-2+1。这个关系和斐波那契序列极为相似。利用归纳法容易证明：当h≥0间复杂度为O(logn)。

最后附上完整代码地址：GitHub

Done