【数学：卡特兰数】总结

来源：互联网发布：安卓博德之门2修改数据编辑：程序博客网时间：2024/05/01 10:50

其实之前就研究了一下卡特兰数只是因为不知道怎么了就突然忘记继续搞下去了

听了刘老师的卡特兰数后还是认真写个总结吧

一：卡特兰数的前几个数

为了以后能即使发现是卡特兰数贴几个卡特兰数的前几个数

前20项为（OEIS中的数列A000108）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190

二：卡特兰数的一般公式运用

$C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}$

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.$

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,$

公式一

对于 1 先从一个题目看看这个公式如何来的

习题一.考虑由n个+1和n个-1构成的2n项序列a1,a2,a3,....a2n

其部分和总满足 a1+a2+a3+..ak>=0 (k=1,2,3,....2n)

证明这样的序列满足卡特兰数.

证明如下（组合数学教科书上的）：巧妙的运用了一组等价变幻

对于公式2

可以考虑这个题目

C_n表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：

公式3待定

公式4：

由这个题可以知另一个好公式

C_n表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数：X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：

其实还有另外一个方便计算的公式

C（m,n）=C（m-1,n)+C(m,n-1); 若（m<n) 则C（m,n）=0

而C（n,n）即为 n的卡特兰数

题目链接：

http://blog.csdn.net/zy691357966/article/details/40514945

再考虑一些不容易看出来的卡特兰数题目（那种显而易见的就不贴了）

C_n表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中，n等于3，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。

C_n表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树（full binary tree）的方案数。下图中，n等于3，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。

公式2卡特兰数理念（子问题合并）

C_n表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为n = 4的情况：

不知道怎么证

、

0 0