树链剖分（模版）

树链剖分是解决在树上进行插点问线，插线问点等一系列树上的问题

假如现在给你一棵树，然后没两条边之间有一条权值，有一些操作，1：x---y之间的最大权值是多少，2：改变x---y之间的权值

当前这样的操作有很多，如果直接用暴力的方法的话肯定不行，那么就要想一个好的方法，我们可以想一下能不能借助线段树解决，能不能想一种方法对树上的边进行编号，然后就变成区间了。那么我们就可以在线段树上进行操作了，树链剖分就是这样的一个算法。

应用范围：在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和，这样的树，从底向上看每个点都只和一个点相连，即任何两点间都有唯一的路径。

划分重链轻链

数据结构：

siz[u] 以u为根子树的节点数
dep[u] u的深度(根为1)
fa[u]  u的父亲
son[u] 与u在同一重链上的儿子

top[u] u所在的链顶端节点
w[u]   表示u与父节点连边在线段树中的位置

剖分后的树有如下性质：
    性质1：如果(v,u)为轻边，则siz[u] * 2 < siz[v]；
    性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。

第一次dfs1 求出dep,siz,fa,son
第二次dfs2 对于v存在，若son[v]存在（v不是叶子节点）。top[son[v]]=top[v]
线段树中，v的重边应当在v父边的后面，w[son[v]]=totw+1,totw表示最后加入的一条边在线段书中的位置
此时，为了使重链各边在线段树中连续分布，dfs2(son[v])
对于v的各个轻儿子u，有top[u]=u,w[u]=totw+1,

这里的线段树中的位置，考虑方式是线的个数是点数-1，所以可以一一对应。使用p数组

当然编号不是简单的随便编号，如果我们进行随便的编号，然后建立一个线段树，如果要更新一个边的权值，是log2（n）的复杂度，而查找的话，我们要枚举x--y的之间的所有的边，假如我们随便以一个点为根节点进行编号，最大的长度是树的直径，这个值本身是比较大的，而在线段树上查找任意一个区间的复杂度也是log2（n），这样查找一次的时间复杂度比直接暴力还要高，所以很明显是不行的。

那么就要想想办法了，我们能不能把x--y之间的一些边一块儿查找，这就是关于树链剖分的重边和轻边，

重边：某个节点x到孩子节点形成的子树中节点数最多的点child之间的边，由定义发现除了叶子节点其他节点只有一条重边

重边是可以放在一块儿更新的，而有

性质：从根到某一点的路径上轻边、重边的个数都不大于logn。

所以这样查找的时间复杂度相当于log2（n）

其实树链剖分就是把边哈希到线段树上的数据结构。

实现的话很简单，用两个dfs处理数数的信息，重边以及轻边，然后就是一些线段树的操作了。

模板“：以spoj 375 为例

#include <cstdio>#include <cstring>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std;#define Del(a,b) memset(a,b,sizeof(a))const int N = 10005;int dep[N],siz[N],fa[N],id[N],son[N],val[N],top[N]; //top 最近的重链父节点int num;vector<int> v[N];struct tree{    int x,y,val;    void read(){        scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);    }};tree e[N];void dfs1(int u, int f, int d) {    dep[u] = d;    siz[u] = 1;    son[u] = 0;    fa[u] = f;    for (int i = 0; i < v[u].size(); i++) {        int ff = v[u][i];        if (ff == f) continue;        dfs1(ff, u, d + 1);        siz[u] += siz[ff];        if (siz[son[u]] < siz[ff])            son[u] = ff;    }}void dfs2(int u, int tp) {    top[u] = tp;    id[u] = ++num;    if (son[u]) dfs2(son[u], tp);    for (int i = 0; i < v[u].size(); i++) {        int ff = v[u][i];        if (ff == fa[u] || ff == son[u]) continue;        dfs2(ff, ff);    }}#define lson(x) ((x<<1))#define rson(x) ((x<<1)+1)struct Tree{    int l,r,val;};Tree tree[4*N];void pushup(int x) {    tree[x].val = max(tree[lson(x)].val, tree[rson(x)].val);}void build(int l,int r,int v){    tree[v].l=l;    tree[v].r=r;    if(l==r)    {        tree[v].val = val[l];        return ;    }    int mid=(l+r)>>1;    build(l,mid,v*2);    build(mid+1,r,v*2+1);    pushup(v);}void update(int o,int v,int val)  //log(n){    if(tree[o].l==tree[o].r)    {        tree[o].val = val;        return ;    }    int mid = (tree[o].l+tree[o].r)/2;    if(v<=mid)        update(o*2,v,val);    else        update(o*2+1,v,val);    pushup(o);}int query(int x,int l, int r){    if (tree[x].l >= l && tree[x].r <= r) {        return tree[x].val;    }    int mid = (tree[x].l + tree[x].r) / 2;    int ans = 0;    if (l <= mid) ans = max(ans, query(lson(x),l,r));    if (r > mid) ans = max(ans, query(rson(x),l,r));    return ans;}int Yougth(int u, int v) {    int tp1 = top[u], tp2 = top[v];    int ans = 0;    while (tp1 != tp2) {        //printf("YES\n");        if (dep[tp1] < dep[tp2]) {            swap(tp1, tp2);            swap(u, v);        }        ans = max(query(1,id[tp1], id[u]), ans);        u = fa[tp1];        tp1 = top[u];    }    if (u == v) return ans;    if (dep[u] > dep[v]) swap(u, v);    ans = max(query(1,id[son[u]], id[v]), ans);    return ans;}void Clear(int n){    for(int i=1;i<=n;i++)        v[i].clear();}int main(){    //freopen("Input.txt","r",stdin);    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        int n;        scanf("%d",&n);        for(int i=1;i<n;i++)        {            e[i].read();            v[e[i].x].push_back(e[i].y);            v[e[i].y].push_back(e[i].x);        }        num = 0;        dfs1(1,0,1);        dfs2(1,1);        for (int i = 1; i < n; i++) {            if (dep[e[i].x] < dep[e[i].y]) swap(e[i].x, e[i].y);            val[id[e[i].x]] = e[i].val;        }        build(1,num,1);        char s[200];        while(~scanf("%s",&s) && s[0]!='D')        {            int x,y;            scanf("%d%d",&x,&y);            if(s[0]=='Q')                printf("%d\n",Yougth(x,y));            if (s[0] == 'C')                update(1,id[e[x].x],y);        }        Clear(n);    }    return 0;}