树链剖分模版
来源:互联网 发布:技佳数据恢复中心 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 17:56
摘自http://blog.sina.com.cn/s/blog_6974c8b20100zc61.html
稍有改动
“在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和”乍一看只要线段树就能轻松解决,实际上,仅凭线段树是不能搞定它的。我们需要用到一种貌似高级的复杂算法——树链剖分。树链,就是树上的路径。剖分,就是把路径分类为重链和轻链。记size[v]表示以v为根的子树的节点数,dep[v]表示v的深度(根深度为1),top[v]表示v所在的重链的顶端节点,fa[v]表示v的父亲,son[v]表示与v在同一重链上的v的儿子节点(姑且称为重儿子),id[v]表示v与其父亲节点的连边(姑且称为v的父边)在线段树中的位置。只要把这些东西求出来,就能用logn的时间完成原问题中的操作。重儿子:size[u]为v的子节点中size值最大的,那么u就是v的重儿子。轻儿子:v的其它子节点。重边:点v与其重儿子的连边。轻边:点v与其轻儿子的连边。重链:由重边连成的路径。轻链:轻边。剖分后的树有如下性质:性质1:如果(v,u)为轻边,则size[u] * 2 < size[v];性质2:从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。算法实现:我们可以用两个dfs来求出fa、dep、size、son、top、id。dfs1:把fa、dep、size、son求出来,比较简单,略过。dfs2:⒈对于v,当son[v]存在(即v不是叶子节点)时,显然有top[son[v]] = top[v]。线段树中,v的重边应当在v的父边的后面,记id[son[v]] = idx + 1,idx表示最后加入的一条边在线段树中的位置。此时,为了使一条重链各边在线段树中连续分布,应当进dfs2(son[v]); ⒉对于v的各个轻儿子u,显然有top[u] = u,并且id[u] = idx + 1,进行dfs2过程。这就求出了top和id。将树中各边的权值在线段树中更新,建链和建线段树的过程就完成了。修改操作:例如将u到v的路径上每条边的权值都加上某值x。一般人需要先求LCA,然后慢慢修改u、v到公共祖先的边。而高手就不需要了。记f1 = top[u],f2 = top[v]。当f1 <> f2时:不妨设dep[f1] >= dep[f2],那么就更新u到f1的父边的权值(logn),并使u = fa[f1]。当f1 = f2时:u与v在同一条重链上,若u与v不是同一点,就更新u到v路径上的边的权值(logn),否则修改完成;重复上述过程,直到修改完成。求和、求极值操作:类似修改操作,但是不更新边权,而是对其求和、求极值。如下图所示,较粗的为重边,较细的为轻边。节点编号旁边有个红色点的表明该节点是其所在链的顶端节点。边旁的蓝色数字表示该边在线段树中的位置。图中1-4-9-13-14为一条重链。
当要修改11到10的路径时。第一次迭代:u = 11,v = 10,f1 = 2,f2 = 10。此时dep[f1] < dep[f2],因此修改线段树中的5号点,v = 4, f2 = 1;第二次迭代:dep[f1] > dep[f2],修改线段树中9--10--11号点。u = 1, f1 = 1第三次迭代:f1 == f2,退出循环,并判断dep[u]跟dep[v]的深度,因为dep[u] < dep[v],所以更新线段树中的1号结点
两次DFS
#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <vector>using namespace std;const int N = 50005;int dep[N], f[N], son[N], size[N], top[N], id[N], bit[N], val[N], idx;int n, m, p;vector<int> g[N];//dep存储的是节点的深度//size记录的是以u为根结点的子树的节点数//f数组记录的是每个节点的父节点//son记录的是与u同在一重链上的u的子节点//初始值1, -1, 1void dfs1(int u, int fa, int depth) { dep[u] = depth; size[u] = 1; f[u] = fa; son[u] = 0; for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) { int v = g[u][i]; if (v == fa) continue; dfs1(v, u, depth + 1); size[u] += size[v]; if (size[son[u]] < size[v]) son[u] = v; }}//top记录的是结点所在的链的顶端结点//id记录的是树的结点对应的的值//初始值是1,1void dfs2(int u, int tp) { id[u] = ++idx; top[u] = tp; //son[u]是重链 if (son[u]) dfs2(son[u], tp); for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) { int v = g[u][i]; if (v == f[u] || v == son[u]) continue; dfs2(v, v); }}
点权的询问或者修改,这里使用的是树状数组,线段树同理
void add(int x, int v) { while (x < N) { bit[x] += v; x += lowbit(x); }}void add(int l, int r, int v) { add(l, v); add(r + 1, -v);}void gao(int u, int v, int w) { int tp1 = top[u], tp2 = top[v]; while (tp1 != tp2) { if (dep[tp1] < dep[tp2]) { swap(tp1, tp2); swap(u, v); } add(id[tp1], id[u], w); u = f[tp1]; tp1 = top[u]; } if (dep[u] > dep[v]) swap(u, v); add(id[u], id[v], w);}
附上模版题:HDU-3966 (点权,可用树状数组维护)
HYSBZ - 1036 树的统计Count (点权)
FZU - 2082 过路费(边权)
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