递归与分治

1、递归思想：

棋盘覆盖问题：

有一个*的方格组成的棋盘，恰有一个方格是黑色的，其它为白色，需要用三个方格的L型牌覆盖所有白色方格。黑色方格不能被覆盖, 任两个方格不 能有重叠部分。L型牌如下：

解决方法：

把棋盘切为四块，则每一块都是 一个的。有黑格子的那一块可以递归解决，其他三块并没有黑格子。

循环日程表问题：

有n =2k个运动员要进行网球循环赛, 需要设计比赛日程表。每 个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；每个选手一天只能赛一次；循环赛一共进行n-1天(只需n-1天)。

按此要求设计一张比赛日程表，它有n行和n-1列, 第i行j列为第i个选手 第j天遇到的选手。下图是k=3（n=8）的一个可行解，它是四块拼起来的。左上角是k=2的一组解，左下角是左上角每个数加4得到，而右上、右下角分别是左下、左上角复制得到。

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2、两个经典的分治算法

划分(divide) 把问题划分成若干子问题(subproblem)

求解(conquer) 递归求解子问题

合并(combine) 把子问题的解合并成原问题的解

最大最小值：

给n个实数，求它们之中的最大值和最小值，要求比较次数尽量小。

解决方法：

划分：把n个数均分为两半

递归求解：求左半的最小值minL 和最大值maxL以及右半最小值minR和最大 值maxR

合并：所有数的最大值为max{maxL,maxR}，最小值为min{minL,minR}

有序表查找问题：

给出从小到大排列的n个不同数a[0]~a[n-1]，试判断元素x是否 出现在表中

利用二分查找

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3、基于分治的排序算法和顺序统计算法

所谓排序，即把n个数从小到大 排成一行；所谓顺序统计，即给定1 <= k<= n，在n个数中找出第k大的数。

归并排序：

把序列分成两部分，对每部分递归分成两部分，然后把各部分排序，最后合并到一起，合并过程如下图：

空间复杂度为n，时间复杂度为O(n log n)

逆序对数：

给一列数a1, a2,..., an，求它的逆序对数，即有多少 个有序对i, j使得i<j但a[i] >a[j]

和上面差不多，首先不断划分，然后分别对每部分排序，但在排序的时候要记下每个数的逆序数，归并的时候，右边的数移除出时，逆序数要加上左边还没有移出的数的个数

快速排序：

快排属于原地排序，不需要额外空间

随意取一元素x，把x放到数组的尾部，也就是和尾部的元素位置互换，然后从数组左边向后开始搜索，找一个大于或等于x的元素，如A[i]；从x的左边向前搜索，找一个小于x的元素，如A[j]，然后把这两个元素位置互换，直到i>j，注意，当i>j时A[i]和A[j]无需交换，最后把x与A[i]元素互换，这样一轮，x的左边的所有元素都小于x，右边的所有元素都大于等于x。递归该过程。

空间复杂度为1，平均时间复杂度为O(n log n)