幻方

初學者的幻方例子

 

我們可以先由１些較容易的幻方開始～

ｎ階幻方

特色：

-- 方陣中的數字是由 1 到ｎ乘ｎ的連續整數組成。（數字不可重複）

-- 方陣的行和、列和、對角線和都要等於定出來的總和。

行和： 方陣中同１行的ｎ個數字之和，共有ｎ個行和。

列和： 方陣中同１列的ｎ 個數字之和，共有ｎ個列和。

對角線和： 方陣中同１條對角線的ｎ個數字之和，共有１個對角線和。

我們以圖ａ做例，無論是行和，列和，甚至是對角線和都是１5。 而且方陣中的數字是由 1 到３乘３的連續

整數組成的，所以它的名稱就是３階幻方。

１個ｎ階幻方的定和可用下列公式求出： ( 1 + ｎ×ｎ ) × n ÷ 2

ｎ階幻方有１個要求，就是ｎ不可以少於２，因為２階幻方是不可能存在的。

証明：

２階幻方定出來的總和為 ( 1 + 2 × 2 ) × 2 ÷ 2 = 5

如圖ｂ的２階幻方， a + b = 5 ， a + c = 5 ， 將２式相減得 b - c = 0 ， 即 b = c

由於幻方的數字不可重覆，所以上式得出的 b = c 有矛盾，所以２階幻方並不存在。

a

b

c

d

圖１〔假設圖〕

由幻方的旋轉，可以得到四種變化： (1) 0 度 (2) 90 度 (3) 180 度 (4) 270 度

若將幻方整個翻轉，又可以的到另外的四個不同的幻方，可知幻方的數目必為８的倍數。

ａ.順時針旋轉90度、180度、270度。

ｂ.依照鉛直、水平對稱軸鏡射。

ｃ.依照左上→右下、右上→左下對角線鏡射。

１個幻方總共有八種型式。以３階幻方為例，可求出其他７個型式：

原方陣

90度

180度

270度

8

1

6

4

3

8

2

9

4

6

7

2

3

5

7

9

5

1

7

5

3

1

5

9

4

9

2

2

7

6

6

1

8

8

3

4

 

鉛直

水平

左上右下

右上左下

6

1

8

4

9

2

8

3

4

2

7

6

7

5

3

3

5

7

1

5

9

9

5

1

2

9

4

8

1

6

6

7

2

4

3

8

幻方公式

一個 n 階幻方中，因為每列(或行)的總和相等

∴ 所有數字總和 = 各列數字總和(稱為魔數) x 列數：