一般区域二重、三重积分MATLAB计算方法
来源:互联网 发布:用dos编译java 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 00:31
这里讨论的计算方法指的是利用现有的MATLAB函数来求解,而不是根据具体的数值计算方法来编写相应程序。目前最新版的2009a有关于一般区域二重积分的计算函数quad2d,但没有一般区域三重积分的计算函数,而NIT工具箱似乎也没有一般区域三重积分的计算函数。
本贴的目的是介绍一种在7.X版本MATLAB(不一定是2009a)里求解一般区域二重三重积分的思路方法。需要说明的是,在MATLAB的dblquad帮助文档里已经讨论了一种求解一般区域二重三重积分的思路方法,就是将被积函数“延拓”到矩形或者长方体区域,但是这种方法不可避免引入很多乘0运算浪费时间。因此,新的思路将避免这些。由于是调用已有的MATLAB函数求解,在求一般区域二重积分时,效率和2009a的quad2d相比有一些差距,但是相对于"延拓"函数的做法,效率大大提高了。下面结合一些简单例子说明下计算方法。
譬如二元函数f(x,y) = x*y,y从sin(x)积分到cos(x),x从1积分到2,这个积分可以很容易用符号积分算出结果如果你用的是2009a,你可以用得到上述结果。
如果用的不是2009a,那么你可以利用NIT工具箱里的quad2dggen函数。
那么我们如果既没有NIT工具箱用的也不是2009a,怎么办呢?
答案是我们可以利用两次quadl函数,注意到quadl函数要求积分表达式必须写成向量化形式,所以我们构造的函数必须能接受向量输入。见如下代码myfun1函数就是构造的原始被积函数对y积分后的函数,这时候是关于
x的函数,要能接受向量形式的x输入,所以构造这个函数的时候考虑到x是向量的情况。
利用arrayfun函数(7.X后的版本都有这个函数,不了解这个函数的朋友可以查看帮助文档,或者百度搜索arrayfun)可以将IntDemo函数精简成一句代码:上面这行代码体现了用MATLAB7.X求一般区域二重积分的一般方法。可以这么理解这句代码:
首先定义了一个关于x的匿名函数,供quadl调用求最外重(x从1到2的)积分,这时候,x对于就是已知的了。
而定义的是对于给定的xx,求xx*y关于y的积分函数,这就相当于数学上积完第一重y的积分后得到一个关于xx的函数
而只是对加了一个循环的壳,保证“积完第一重y的积分后得到一个关于xx的函数”能够接受向量化的xx的输入,从而能够被quadl调用。
有了这个模板,我们可以方便求其他一般积分区域(上下限是函数)形式的二重积分,例如被积函数
f
= @(x,y)
exp(sin(x))*ln(y),y从5*x积分到x^2,x从10积分到20。
用quad2d,上面介绍的方法,还有dblquad帮助文档里给的延拓函数的方法可见上述方法在2009a以外的版本中不失为一种方法,起码效率高于dblquad帮助文档里推荐的做法。更重要的是,这给我们求解一般区域三重积分提供了一种途径。
本贴的目的是介绍一种在7.X版本MATLAB(不一定是2009a)里求解一般区域二重三重积分的思路方法。需要说明的是,在MATLAB的dblquad帮助文档里已经讨论了一种求解一般区域二重三重积分的思路方法,就是将被积函数“延拓”到矩形或者长方体区域,但是这种方法不可避免引入很多乘0运算浪费时间。因此,新的思路将避免这些。由于是调用已有的MATLAB函数求解,在求一般区域二重积分时,效率和2009a的quad2d相比有一些差距,但是相对于"延拓"函数的做法,效率大大提高了。下面结合一些简单例子说明下计算方法。
譬如二元函数f(x,y) = x*y,y从sin(x)积分到cos(x),x从1积分到2,这个积分可以很容易用符号积分算出结果如果你用的是2009a,你可以用得到上述结果。
如果用的不是2009a,那么你可以利用NIT工具箱里的quad2dggen函数。
那么我们如果既没有NIT工具箱用的也不是2009a,怎么办呢?
答案是我们可以利用两次quadl函数,注意到quadl函数要求积分表达式必须写成向量化形式,所以我们构造的函数必须能接受向量输入。见如下代码myfun1函数就是构造的原始被积函数对y积分后的函数,这时候是关于
x的函数,要能接受向量形式的x输入,所以构造这个函数的时候考虑到x是向量的情况。
利用arrayfun函数(7.X后的版本都有这个函数,不了解这个函数的朋友可以查看帮助文档,或者百度搜索arrayfun)可以将IntDemo函数精简成一句代码:上面这行代码体现了用MATLAB7.X求一般区域二重积分的一般方法。可以这么理解这句代码:
首先定义了一个关于x的匿名函数,供quadl调用求最外重(x从1到2的)积分,这时候,x对于就是已知的了。
而定义的是对于给定的xx,求xx*y关于y的积分函数,这就相当于数学上积完第一重y的积分后得到一个关于xx的函数
而只是对加了一个循环的壳,保证“积完第一重y的积分后得到一个关于xx的函数”能够接受向量化的xx的输入,从而能够被quadl调用。
有了这个模板,我们可以方便求其他一般积分区域(上下限是函数)形式的二重积分,例如被积函数
f
= @(x,y)
exp(sin(x))*ln(y),y从5*x积分到x^2,x从10积分到20。
用quad2d,上面介绍的方法,还有dblquad帮助文档里给的延拓函数的方法可见上述方法在2009a以外的版本中不失为一种方法,起码效率高于dblquad帮助文档里推荐的做法。更重要的是,这给我们求解一般区域三重积分提供了一种途径。
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