最长上升子序列 Longest Increasing Subsequence n^2和nlogn算法

最长上升子序列 Longest Increasing Subsequence

最长上升子序列，英文全程为Longest Increasing Subsequence，简称LIS，这个问题是一个经典的动态规划问题。

先来介绍一下最长上升子序列的定义，设有n个数，a1，a2，a3，... ，an，如果ai1<ai2<...<aik，其中1<=i1<i2<i3<...<ik<=n，那么ai1，ai2，...，aik，就是这n个数的上升子序列，所有的上升子序列中，最长的那个叫做最长上升子序列，显然，最长上升子序列可能不止一个，就是说可能存在多个上升序列，它们的长度相等，并且是最长的。

求解这个问题有两种算法，复杂分别是n^2和nlogn，但基本的思想都是动态规划，不同的是，第二中方法利用了二分的思想，将复杂度降到了nlogn。

解法一（n^2算法）：

我们用一维的数组表示状态，即dp[i]表示以第i个数结尾的最长上升子序列的最长长度，那么很容易推出状态转移方程dp[i] = max(dp[j]+1)，其中1<=j<i，并且aj<ai。

这个算法比较容易理解，我们还能在求的过程中记录下来这个最长上升子序列。

另一个思路是:对序列X进行排序得到X’, 然后求X和X’的最长公共子序列就得到了该序列的最长单调递增子序列.这个方法也是n^2的.

代码如下：

/*************************************************************************> File Name: lis_n2.cpp> Author: gwq> Mail: [e-mail] > Created Time: 2014年10月30日 星期四 16时42分25秒 ************************************************************************/#include <cmath>#include <ctime>#include <cctype>#include <climits>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <map>#include <set>#include <queue>#include <stack>#include <vector>#include <sstream>#include <iostream>#include <algorithm>#define INF (INT_MAX / 10)#define clr(arr, val) memset(arr, val, sizeof(arr))#define pb push_back#define sz(a) ((int)(a).size())using namespace std;typedef set<int> si;typedef vector<int> vi;typedef map<int, int> mii;typedef long long ll;const double esp = 1e-5;#define N 10010int num[N], dp[N], pre[N];int main(int argc, char *argv[]){int n;while (scanf("%d", &n) != EOF) {for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &num[i]);}//初始化,以第i个数为终点的最长上升序列长度为1//其前驱为-1，即没有前驱for (int i = 0; i < n; ++i) {dp[i] = 1;pre[i] = -1;}for (int i = 1; i < n; ++i) {//找到最优解，并记录前驱节点for (int j = 0; j < i; ++j) {if (num[j] < num[i] && dp[i] < dp[j] + 1) {dp[i] = dp[j] + 1;pre[i] = j;}}}int pos = 0;int max = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (max < dp[i]) {max = dp[i];pos = i;}}//记录的是逆序的，所以要倒序输出int u = pos;stack<int> s;while (u != -1) {s.push(num[u]);u = pre[u];}printf("%d\n", max);for (int i = 0; i < max; ++i) {printf("%d%c", s.top(), (i == max - 1) ? '\n' : ' ');s.pop();}}return 0;}

解法二（nlogn）：

上述算法已经能很好的解决最长上升子序列的问题了，但是，效率是n^2，不尽如人意，所以，就有了这个改进的nlogn算法，原理是引入了二分思想，即在前i-1个数里查找最优解的时候，经过特殊处理，使得能满足二分查找的性质。

首先考虑一种情况，如果dp[i]==d[j]，但是num[i]<num[j]，那么我们选择那个好呢，显然，选择以num[i]为结尾的序列更优潜力，因为可能存在一个k，使得num[i] < num[k] < num[j]，可以使以num[i]为结尾的序列变长，但却不能使以num[j]为结尾的序列边长。那么我们如果知道长度为i的所有序列中结尾数字最小的那个数，就可以知道能否得到一个更长的序列，设用d[i]表示长度为i的序列结尾的最小数字，那么我们就可以维护这个数组，来求得最长公共子序列的长度。

首先，数组d有两个性质，第一，对于数组中的某个元素，如d[k]，d[k]在更新的过程中不可能增大；第二，对于整个数组d，这个数组是严格递增的，这个也很容易理解，子序列长度为i+1的结尾的数字至少要比子序列长度为i的结尾的数字大，否则，就构不成长度为i+1的序列。

有了这两个性质，我们就可以用二分法来更新这个数组，具体方法是，初始，最长公共子序列的长度len为1，d[1] = num[1]，每读入一个元素num[i]，如果d[len] < num[i]，那么令d[++len] = num[i]，否则，二分找到pos，使得d[pos - 1] < num[i]并且num[i] <= d[pos]，然后，将d[pos]赋值为num[i]。

代码如下：

/*************************************************************************> File Name: lis_nlogn.cpp> Author: gwq> Mail: [e-mail] > Created Time: 2014年10月30日 星期四 16时42分25秒 ************************************************************************/#include <cmath>#include <ctime>#include <cctype>#include <climits>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <map>#include <set>#include <queue>#include <stack>#include <vector>#include <sstream>#include <iostream>#include <algorithm>#define INF (INT_MAX / 10)#define clr(arr, val) memset(arr, val, sizeof(arr))#define pb push_back#define sz(a) ((int)(a).size())using namespace std;typedef set<int> si;typedef vector<int> vi;typedef map<int, int> mii;typedef long long ll;const double esp = 1e-5;#define N 10010int num[N], d[N], len;int find(int idx){int l = 1;int r = len - 1;//二分找到更新的位置while (l <= r) {int mid = (l + r) >> 1;if (num[idx] > d[mid] && num[idx] <= d[mid + 1]) {return mid + 1;} else if (num[idx] > d[mid]) {l = mid + 1;} else {r = mid - 1;}}//找不到，就更新d[1]，这个一定是长度为1的最小的//否则，就到不了这一步了return 1;}int main(int argc, char *argv[]){int n;while (scanf("%d", &n) != EOF) {for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &num[i]);}len = 1;d[1] = num[0];for (int i = 1; i < n; ++i) {if (d[len] < num[i]) {d[++len] = num[i];} else {int pos = find(i);d[pos] = num[i];}}printf("%d\n", len);}return 0;}

上述两种算法各有优点，第一种可以记录得到的最长子序列，第二种算法就记录不了，但是效率得到了提升。