最大连续和的方法总结

最大连续和的方法总结

第一种：暴力。复杂度O（n^3)。用两个循环枚举起点和终点，然后中间再放一个循环，计算这个起点到终点的连续和。

伪代码：

    max = -INF;    s[maxn];    for i in range(1, len):        for(j in range(i, len)):            sum = 0;            for (k in range(i, j)):                sum += s[k];            else:                max = Max(max, sum);        else:;    else:        return max;

第二种：预处理 + 暴力枚举起点终点。复杂度O（n^2)。和第一个类似，只是一开始用sum[i]，来储存从1到i的连续和。这样就可以去掉第三层的循环，直接用sum[end] - sum[begin]得到。

伪代码：

    max = -INF;    s[maxn], sum[maxn];    sum[0] = 0;    for i int range(1, len):        sum[i] = sum[i - 1] + s[i];    else:;    for i in range(1, len):        for j int range（i, len):            max = Max(max, sum[j] - sum[i - 1]);        else:;    else:        return max;

第三种：分治法， 复杂度O(n*log(n))。思路是将长度为len的序列划分左右两个左闭右开的区间[l,m) [m, r)，然后递归求出左边的区间的最大连续和，再求出右边的最大连续和，最后在求出跨中点m的最大连续和，这个区间的最大连续和就在这三者之中。将每个区间都划分成子问区间，直到区间只有一个数的时候停止。注意：两个区间不能同时拥有同一个元素，这样在后面的区间再划分的时候会出错（划分成单个元素区间的时候会发现每个元素都多了一个），这也是要左闭右开区间的原因。

伪代码：

    l = 1;    r = len + 1；    function maxsum (l, r)         if r - l == 1:    return s[l];        m = (l + r) / 2;        //左子区间        maxLp = maxsum(l, m);        //右子区间        maxRp = maxsum(m, r);        max = Max(maxLp, maxRp);        //中间的跨越中点m的区间        sumLp = s[m - 1];        sum = 0;        for i in range(m - 1, l)://i--            sum += s[i];            maxLp = Max(maxLp, sum);        else:;        sumRp = s[m];        sum = 0;        for i in range(m, r - 1)://i++            sum += s[i];            maxRp = Max(maxRp, sum);        else:;        return Max(max, maxRp + maxLp);    end function

第四种：累积遍历算法(1)，复杂度O(n).从左到右用一个Sum变量累计，当Sum<0的时候就令Sum = 0,再去加上后面的数,并且在这个遍历的过程中记录下Sum的最大值。换句话说：用这个Sum将这个序列分段，如果前面的连续和比0还小的话，那么加上后面的数倒还没有后面的数自己作为开头的连续和大，所以就让Sum = 0.这样才可能产生比前面的连续和更大的值。

伪代码：

    s[maxn];    max = sum = s[1];    for i in range(2, len):        if sum < 0:            sum = s[i];        else:            sum += s[i];        max = Max (max, sum);    else: return max;

第五种：累积遍历算法(2)，复杂度O(n).同样也是用一个变量Sum来累计，只是这里用一个MinPart来保存前面从1开始的最小的连续和。因为这个序列的所有值的和是确定的，那么只要取得了前面的最小连续和，因为总值是固定的，后面的就是最大的连续和，也就是遍历过程中Sum - MinPart的最大值。

伪代码；

    s[maxn];    MinPart = sum = 0;//注意开头可能是正数    max = s[1];    for in range(1, len):        sum += s[i];        max = Max (sum - MinPart);        MinPart = Min (MinPart, sum);    else: return max;

第六种：动态规划，复杂度O(n)。和第四种的想法是类似的，只是这里是开一个sum[maxn]的数组。状态转移方程：sum[i] = Max(sum[i - 1] + s[i], s[i])；

伪代码：

    sum[maxn],s[maxn];    max = sum[1] = s[1];//只有一个数的情况下只能取这个数    for in range(2, len):        sum[i] = Max (sum[i - 1] + s[i], s[i])        max = Max (max, sum[i]);    else: return max;

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接下来是UVA507的题目的四种解法，因为前两种比较简单而且放在这题会超时就不写了。这题需要给出上下界的。

分治法

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 2e4 + 5;int n, s[maxn];struct Ans {    int v, l, r;    Ans () {}    Ans (int v, int l , int r) : v(v), l(l), r(r){}    void set (int v, int l, int r) {        this->v = v;        this->l = l;        this->r = r;    }};Ans maxsum (int l, int r) {    if (r - l == 1)         return Ans(s[l], l, l);    Ans max_sum;    int m = l + (r - l)/2;    Ans Lmax = maxsum(l, m);    Ans Rmax = maxsum(m, r);        if (Lmax.v > Rmax.v)         max_sum = Lmax;    else if (Lmax.v < Rmax.v)        max_sum = Rmax;    else  {            if (Lmax.r - Lmax.l < Rmax.r - Rmax.l)            max_sum = Rmax;        else            max_sum = Lmax;    }    Ans Lp(s[m - 1], m - 1, m - 1), Rp(s[m], m, m);        int tmp = 0;    for (int i = m - 1; i >= l; i--) {        tmp += s[i];        if (tmp >= Lp.v)             Lp.set(tmp, i, m - 1);    }    tmp = 0;    for (int i = m; i < r; i++) {        tmp += s[i];        if (tmp >= Rp.v)             Rp.set(tmp, m, i);    }    Ans Center(Lp.v + Rp.v, Lp.l, Rp.r);    if (Center.v > max_sum.v)         max_sum = Center;    else if (Center.v == max_sum.v) {        int dis1 = Center.r - Center.l;        int dis2 = max_sum.r - max_sum.l;        if (dis1 > dis2 || (dis1 == dis2 && Center.l < max_sum.l))            max_sum = Center;    }    return max_sum;}int main () {    int T;    scanf ("%d", &T);    for (int cas = 1; cas <= T; cas++) {          scanf ("%d", &n);        for (int i = 0; i < n - 1; i++)            scanf ("%d", &s[i]);        Ans result = maxsum(0, n - 1);    //    printf ("%d\n", result.v);        if (result.v < 0)              printf ("Route %d has no nice parts\n", cas);          else              printf ("The nicest part of route %d is between stops %d and %d\n", cas, result.l + 1, result.r + 2);      }      return 0;  }

累计遍历法(1):

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 2e4 + 5;int n, s[maxn];int solve (int& l, int& r) {    int Max_num, sum;    int tmp;    l = r = tmp = 1; //border    Max_num = sum = s[0];    for (int i = 1; i < n - 1; i++) {        if (sum < 0) {            sum = s[i];            tmp = i + 1;        } else            sum += s[i];        if (sum > Max_num) {            Max_num = sum;            l = tmp;            r = i + 1;        } else if (sum == Max_num) {            if (r - l < i + 1 - tmp || ((r - l) == (i + 1 - tmp) && tmp < l)) {                l = tmp;                r = i + 1;            }        }    }    return Max_num;}int main () {    int T, l, r;    scanf ("%d", &T);    for (int cas = 1; cas <= T; cas++) {          scanf("%d", &n);          for (int i = 0; i < n - 1; i++)              scanf ("%d", &s[i]);          int ans = solve(l, r);  //        printf ("%d\n", ans);        if (ans < 0)              printf ("Route %d has no nice parts\n", cas);          else              printf ("The nicest part of route %d is between stops %d and %d\n", cas, l, r + 1);      }      return 0;  }

累积遍历法(2):

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 2e4 + 5;int n, s[maxn];int solve (int& l, int& r) {    int Min_sum, sum, Max_sum;    int tmp;    tmp = 0; //border    l = r = 1;    sum = Min_sum = 0;    Max_sum = s[0];    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {        sum += s[i];        if (sum - Min_sum >= Max_sum) {            if (sum - Min_sum > Max_sum) {                Max_sum = sum - Min_sum;                l = tmp + 1;                r = i + 1;            } else if (sum - Min_sum == Max_sum) {                    if (i - tmp > r - l) {                    l = tmp + 1;                    r = i + 1;                }            }        }        if (sum < Min_sum) {            Min_sum = sum;            tmp = i + 1;        }    }    return Max_sum;}int main () {    int T, l, r;    scanf ("%d", &T);    for (int cas = 1; cas <= T; cas++) {          scanf("%d", &n);          for (int i = 0; i < n - 1; i++)              scanf ("%d", &s[i]);          int ans = solve(l, r);  //        printf ("%d\n", ans);        if (ans < 0)              printf ("Route %d has no nice parts\n", cas);          else              printf ("The nicest part of route %d is between stops %d and %d\n", cas, l, r + 1);      }      return 0;  }

动态规划：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 2e4 + 5;int n, s[maxn], sum[maxn];int solve (int& l, int& r) {    int Max_sum, tmp;    Max_sum = sum[0] = s[0];    l = r = tmp = 1;    for (int i = 1; i < n - 1; i++) {        if (sum[i - 1] + s[i] < s[i]) {            sum[i] = s[i];            tmp = i + 1;        } else             sum[i] = sum[i - 1] + s[i];        //max        if (Max_sum <= sum[i]) {            if (Max_sum < sum[i]) {                Max_sum = sum[i];                l = tmp;                r = i + 1;            } else if (Max_sum == sum[i] && (i + 1 - tmp > r - l)) {                l = tmp;                r = i + 1;            }        }    }    return Max_sum;}int main () {    int T, l, r;    scanf ("%d", &T);    for (int cas = 1; cas <= T; cas++) {          scanf ("%d", &n);        for (int i = 0; i < n - 1; i++)            scanf ("%d", &s[i]);        int ans = solve(l, r);        if (ans < 0)              printf ("Route %d has no nice parts\n", cas);          else              printf ("The nicest part of route %d is between stops %d and %d\n", cas, l, r + 1);      }      return 0;  }

感谢GG大神：参考博客