3D数学与游戏：四元数与旋转

Computer Graphics: 四元数与旋转 在讨论「四元数」之前， 我们来想想对三维直角座标而言，在物体旋转会有何影响， 可以扩充三维直角座标系统的旋转为三角度系统（Three-angle system） ，在Game Programming Gems中有提供这么一段:
Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having "pitched up" 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.

 

简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转， 物体本身即失去对任意轴的自主性。 四元数（Quaternions）为数学家Hamilton于1843年所创造的， 您可能学过的是复数，例如：a + b i 这样的数，其中i * i = -1， Hamilton创造了三维的复数，其形式为 w + x i + y j + z k，其中i、j、 k的关系如下：

i2 = j2 = k2 = -1
i * j = k = -j * i
j * k = i = -k * j
k * i = j = -i * k


假设有两个四元数：


q1 = w1 + x1 i + y1 j + z1 k
q2 = w2 + x2 i + y2 j + z2 k


四元数的加法定义如下：


q1 + q2 = (w1+w2) + (x1+x2) i + (y1+y2) j + (z1+z2) k


四元数的乘法定义如下，利用简单的分配律就是了：


q1 * q2 =

(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x1) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k


由于q = w + x i + y j + z k中可以分为纯量w与向量x i + y j + z k， 所以为了方便表示，将q表示为(S, V)，其中S表示纯量w， V表示向量x i + y j + z k，所以四元数乘法又可以表示为：


q1 * q2 = (S1 + V1)*(S2 + V2) = S1*S2 - V1.V2 + V1XV2 + S1*V2 + S2*V1

其中V1.V2表示向量內积，V1XV2表示向量外积。

定义四元数q = w + x i + y j +ｚ k 的norm为：


N(q) = |q| = x2 + y2 + z2 + w2


满足N(q) = 1的四元数集合，称之为单位四元数（Unit quaternions）。 定义四元数定义四元数q = w + x i + y j +ｚk的共轭（Conjugate）为： q* = 定义四元数q = w - x i - y j -ｚ k = [S - V] 定义四元数的倒数为：
1/ q = q* / N(q)


说明了一些数学，您所关心的或许是，四元数与旋转究竟有何关系， 假设有一任意旋转轴的向量A(Xa, Ya, Za)与一旋转角度θ，如下图所示： 

若令q = [S, V] = [cosθ, u*sinθ]，其中u为单位向量，而令q'= [S', V']为一四元数，则经过导证， 可以得出q * q' * q^(-1)会使得q'绕着u轴旋转2θ。 由四元数的矩阵乘法与四元数的旋转， 可以导证出上面的旋转公式可以使用以下的矩阵乘法来达成   ：

讲了这么多，其实就是要引出上面这个矩阵乘法，也就是说如果您要让向量(x', y', z')（w'为0）对某个单位向量轴u(x, y, z)旋转角度2θ，则w = cosθ， 代入以上的矩阵乘法，即可得旋转后的(x", y", z")，如果为了方便， 转换矩阵的最下列与最右行会省略不写出来，而如下所示：

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你妈B，你脑子有病啊，你把1×3和1×4距阵写成3×1和4×1距阵了！！

大家不要受误导啊！！坐标距阵应当是这样的哦：

[ X,Y,Z ]和[ X,Y,Z,W ]

因为距阵乘法只能是:

[ M×N ] [ N×P ] = [ M×P ]  --> 两个N一定要一样呀！！

并且2D距阵&3D距阵只有结合率没有交换率！！

不信，大家可以自己找资料看啊，antimatterworld从来不

骗人哦~~