最大连续子序列之和，最大连续子序列乘积

　最大连续子序列之和问题描述为：数组中里有正数也有负数，连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和，求所有子数组的和的最大值。分析，对数组a进行一遍扫描，sum[i] 为前i个元素中，包含第i个元素且和最大的连续子数组，MaxSum保存当前子数组中最大和，对于a[i+1]来说，sum[i+1] = sum[i]+a[i+1]，此时如果sum[i+1]<0，那么sum需要重新赋0，从i+1之后开始累加，如果sum[i+1]>0，那么MaxSum = max(MaxSum, Sum[i+1])。代码如下：

int maxSum(int *nArray, int nSize, int &nBegin, int &nEnd) 2 { 3     int nSum = 0, nMaxSum = 0; 4     int nNewBegin = 0;    //记录新的开始下标 5     nBegin = nEnd = 0;    //记录最大连续子数组和的起始于结束下标 6     for(int i=0; i!=nSize; i++) 7     { 8   9         nSum += nArray[i];10         if(nSum >= nMaxSum)11         {12             nMaxSum = nSum;13             nBegin = nNewBegin;14             nEnd = i;15         }16         else if(nSum < 0)17         {18             nSum = 0;19             nNewBegin = i+1;20         }21     }22  23     return nMaxSum;24 }25 26 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])27 {28     int Array[5] = {2, -3, 4, 5, -100};29     int nBegin = 0, nEnd = 0;30     int nMaxSum = maxSum(Array, sizeof(Array)/sizeof(*Array), nBegin, nEnd);31     cout<<nMaxSum<<endl;32     cout<<"开始下标为["<<nBegin<<"], 结束下标["<<nEnd<<"]"<<endl;33 34     return 0;35 }

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　　最大连续子序列乘积，问题描述和前面求最大连续子序列之和类似：给一个浮点数序列，取最大乘积连续子串的值。这里需要重点注意的是乘积需要注意正负号，需要考虑到有偶数个的情况，所以计算时，不止要保存当前最大乘积，也要保存当前最小乘积。代码如下：

double maxProduct(double a[], int nLen, int &nBegin, int &nEnd) 2 { 3     int nNewBegin = 0; 4     nBegin = nEnd =0; 5  6     double dCurMax = 1.0f; 7     double dCurMin = 1.0f; 8     double dMax = 1.0f; 9     double dMin = 1.0f;10     for(int i=0; i!=nLen; i++)11     {12         dCurMax *= a[i];13         dCurMin *= a[i];14         cout<<"dCurMax = "<<dCurMax<<", dCurMin = "<<dCurMin<<endl;15         if(dCurMax > dMax)16         {17             dMax = dCurMax;18             nBegin = nNewBegin;19             nEnd = i;20         }21         if(dCurMin > dMax)22         {23             dMax = dCurMin;24             nBegin = nNewBegin;25             nEnd = i;26         }27         if(dCurMax < dMin)28         {29             dMin = dCurMax;30         }31         if(dCurMin < dMin)32         {33             dMin = dCurMin;34         }35 36         if(dCurMax == 0 || dCurMin == 0)37         {38             dCurMax = dCurMin = 1;39             nNewBegin = i+1;40         }41 42         cout<<"dMax = "<<dMax<<", dMin = "<<dMin<<endl;43         cout<<"begin = "<<nBegin<<", end = "<<nEnd<<endl;44     }45 46     return dMax;47 }48 49 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])50 {51     double a[] = { -2.5, 4, 0, 3, 0.5, 8, -2, -2};52     int nBegin, nEnd;53     int max = maxProduct(a, sizeof(a)/sizeof(*a), nBegin, nEnd);54     cout<<max<<endl;55     cout<<nBegin<<"  "<<nEnd<<endl;56 57     return 0;58 }

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　　在网上看到使用动态规划的算法来处理此题目。假设从数组开头 i 到结尾 j 的范围，求出所有元素为结尾的子序列最大值，取其中最大的那个即为所求的最大连续子序列乘积。假设max(i, k)表示从数组 i 开始到 j 结束的范围内，包含 j 作为结尾的最大连续子序列乘积，注意不一定以 i 作为起始，问题可以概括为max = max(max(i, i), max(i, i+1), ……, max(a, k), ……., max(i, j)) 。那么对于max(i, k)后面的max(i, k+1)来说，会有如下几种情况：

1. max(i, k)和a[k+1]均为正数，且max(i, k)*a[k+1] > max(i, k)，那么有 max(i, k+1) = max(i, k) * a[k+1]
2. max(i, k)和a[k+1]一正一负，如果max(i, k)>0，a[k+1] < 0，那么乘积<0，而max(i, k+1)要包含a[k+1]，所以max(i, k+1) = a[k+1]，反之亦然
3. max(i, k)为正数，a[k+1]为负数，不过max(i, k)之前相连的序列里有负数，那么前面包含负数的这个序列，必然是一个前面序列的最小值，此时max(i, k+1) = min(i, k) * a[k+1]

　　概括起来，包含第k+1个元素为结尾的序列最大乘积应该取自上述三种情况之一：max(i, k+1) = max(max(i, k) * a[k+1],  a[k+1], min(i, k) * a[k+1])。

　　按照同样的道理，我们求得的包含k+1在内结尾的最小乘积序列为：min(i, k+1) = min(min(i, k) * a[k+1], a[k+1], max(i, k) * a[k+1])。

　　代码如下：

int maxProduct_DP(double a[], int n) 2 { 3     double maxCur = 1.0f;   4     double minCur = 1.0f;   5     double maxTmp = maxCur;   6     double minTmp = minCur; 7     double result = 0.0f; 8  9     for(int i=0; i!=n; i++)10     {11         maxTmp = max(maxCur*a[i], max(a[i], minCur*a[i]));12         minTmp = min(maxCur*a[i], min(a[i], minCur*a[i]));13 14         maxCur = maxTmp;15         minCur = minTmp;16 17         result = max(result, maxCur);18     }19 20     return result;21 }