hdu - 3049 - Data Processing（乘法逆元）

来源：互联网发布：js鼠标滚动条事件编辑：程序博客网时间：2024/05/21 10:21

题意：N（N<=40000）个数n1, n2, ..., nN (ni<=N)，求(2 ^ n1 + 2 ^ n2 + ... + 2 ^nN) / N % 1000003。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3049

——>>RJ白书上说“由于‘乘法逆’太重要了……”，上一年南京区赛同学也碰到了求逆元……现在，学习了。。

什么是乘法逆？ab % m = 1 （这里的 a, b 分别都是模 m 的同余等价类），a 模 m 的乘法逆是 b，同时，b 模 m 的乘法逆是a。

乘法逆有什么用？这个用处可还真不小。。如果要求 a / b % m（保证 b | a），但是 a 很大很大，比如 a = 2 ^ 40000，这个式子可不等价于 (a % m) / (b % m) % m。。这时，乘法逆就可以上场了。。一个数除以 b 后模 m，等价于该数乘以 b 模 m 的乘法逆后模 m。。于是上式可变成 a * b的乘法逆 % m，这就容易多了，就是 (a % m) * (b的乘法逆 % m) % m。。

怎么求乘法逆？要求 a 模 m 的乘法逆，设其为 x，因为 a * x % m = 1，所以 a * x + m * y = 1。。这是什么，一元二次方程，于是乎，扩展欧几里得飞一下就出来了。。

#include <cstdio>typedef long long LL;const int MOD = 1000003;const int MAXN = 40000 + 10;int N, kase;LL sum;int pow2[MAXN];void GetPow2(){    pow2[0] = 1;    for (int i = 1; i < MAXN; ++i)    {        pow2[i] = (pow2[i - 1] << 1) % MOD;    }}void Read(){    int n;    sum = 0;    scanf("%d", &N);    for (int i = 0; i < N; ++i)    {        scanf("%d", &n);        sum = (sum + pow2[n]) % MOD;    }}void gcd(LL a, LL b, LL& d, LL& x, LL& y){    if (!b)    {        d = a;        x = 1;        y = 0;        return;    }    else    {        gcd(b, a % b, d, y, x);        y -= a / b * x;    }}LL Inv(int a, int n){    LL ret, d, y;    gcd(a, n, d, ret, y);    return d == 1 ? (ret + n) % n : -1;}void Solve(){    LL ret;    LL inv = Inv(N, MOD);    ret = sum * inv % MOD;    printf("Case %d:%I64d\n", ++kase, ret);}int main(){    int T;    kase = 0;    GetPow2();    scanf("%d", &T);    while (T--)    {        Read();        Solve();    }    return 0;}

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