Color coding 解决最小权重k-path问题（例子）

Color coding 解决最小权重k-path问题

首先简单介绍一下Color coding，Color coding是一种近似算法。主要用于解决图论中的问题，将图中的顶点着色，通过颜色来决策。详细的我也不清楚，你可以去维基百科上看看。

再介绍一下最小权重K-Path，很简单就是在一个图中寻找一条长度为K（包含K个顶点的路径），并且保证该路径的权重最短。我们在下面讨论的是以某一点为起点的算法，全局最短可有两种思路，第一种就是对所有点都当成起点来一次，求最短，还有就是每一次着色后都随机选择一个起点，当第二种方法运行的次数足够多是，他的性能就会向第一种收敛。

Color coding的过程如下：

1 使用K种颜色对图随机着色。

2 构建一个表，列为图中的顶点，行为K的大小。

3 进行动态规划。

代码描述能力有限，直接走个例子吧。

 

说明一下，上图就是着完色的图，K=4，所以有四种颜色。颜色用r,g,b,y代表。线上的数字就是权重。

动态规划填表时，表里的内容为一个{数字，颜色集合}。行数代表路径的长度，列代表这条路径终点。举个例子，比如在K=3，V5的格子里填有{5，[r,y,b]}，意思就是从V1到V5之间有长度为3的路径，总权重为5，终点为V5，经过红—黄—蓝三色。

当我们从长度为i的路径延伸为长度为i+1的路径时，我们对所有长度为i的路径的终点的邻居进行遍历。如果一个邻居的颜色不属于当前的颜色集合。就可以把它加进来，并把它作为路径终点，如果一个顶点可以成为多条路径的终点，这时候就取一个最短的（此处就是动态规划的核心）。

初始化：

K

V1

V2

V3

V4

V5

V6

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

第一步：

求K=1的path，只有一个顶点即为起点，因此在K=1的V1下填写[0,(r)]，意为权重为0，颜色集为(r)。表的第一行填写如红色部分。

第二步：

求K=2的path，对第一行不是--的所有的顶点的邻居进行遍历。即对V1的邻居进行遍历。一共有V2,V3,V4。对于V2，他的颜色不在V1的颜色集合里，可以在K=2的V2下填写[1,(r,g)]，同理V3下填写4,[(r,b)]，V4下填写[4,(r,g)]，其他空格为--。

第三步：

对第二行的每个--的顶点的邻居遍历，首先对V2的邻居进行遍历。一共有V1，V3，V4。V1，V4的颜色为r和g，因此能再加到路径上。对于V3，其颜色不属于(r,g)，因此可以加到路径中，在K=3，V3下填上[3,(r,g,b)]。按照这种方法对V3,V4的另据进行相同操作。最后发现V3和V6下填了两个。这时就选取最小的那个作为结果。

第四步：

按照上面的步骤填完这张表。对于K=4的那行，选取权重最小的就可以了。

K

V1

V2

V3

V4

V5

V6

1

[0,(r)]

--

--

--

--

--

2

--

[1,(r,g)]

4,[(r,b)]

[4,(r,g)]

--

--

3

--

[6,(r,b,g)]

Min{[3,(r,g,b)],[5,(r,g,b)]}

[5,(r,b,g)]

--

Min{[8,(r,b,y)],[7,(r,g,y)]}

4

--

--

[7,(r,g,b,y)]

[8,(r,b,g,y)]

--

[11,(r,g,y,b)]

这样，一次的着色算法就完成了。你觉得很荒唐，长度为4的路径明明是V1，V2，V4，V5长度为4，怎么用着色的方法得到的却是7呢?

因为着色算法是近似的，他要求你着色足够多次，就能在一个概率下得到最优解。看下面的证明：

首先假设有这样的一条K-path，权重最小。他们被着不同颜色的概率是K!，这点毋庸置疑。用K种颜色着色的总的方案数为K的K次方。因此着色能找到最优路径的概率是上述结果。重复足够多次，就能近似的找到结果。