MATLAB Floyd算法

Floyd算法

　Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。

核心思路

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

　　从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；⋯⋯；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

　　采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);

　　其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}

　　map[i,j]表示i到j的最短距离

　　K是穷举i,j的断点

　　map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。
　　当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理,比如没有map[i,k]这条路

算法过程

　把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=空值。

　　定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。

    　把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。

　　在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

　　比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。