三维空间中的圆与三角形（二）：圆与外切三角形

        圆的参数方程（字母所代表含义可参见【第六回】OCCT之Package Geom的曲线曲面参数方程解析）：

P(U) = O + R*Cos(U)*XDir + R*Sin(U)*YDir

已知△ABC，求此三角形的内切圆。

        首先求圆心O。三角形的内心是角平分线的交点，可通过先求得两个角的角平分线，然后求其角点，如下图所示：

AD为∠CAB的角平分线，BE为∠ABC的角平分线，点O为AD与BE的交点，即为该三角形的内心。

        先求得边AB,BC和CA的直线参数方程：(v1,v2,v3均为单位向量)

lAB: P1 = A + t1v1;lBC: P2 = B + t2v2;lCA: P3 = C + t3v3.

角平分线的求法：可根据等边平行四边形定则进行求解。现在求∠CAB的角平线AD，在上图中，四边形AFIG为等边平行四边形，边长为单位1，AI =v1 - v3，则角平分线AH的参数方程为：

lAH: P4 = A + t4×normal(v1-v3);

同理可的角平分线BE的参数方程为：

lBE: P5 = B + t5×normal(v2-v1);

根据这两个方程可求得交点O，两直线的交点求法参见三维空间中的两直线相交。

        求得圆心O后，再求其半径。半径即为点O到任意一条边上的垂足的距离，如上图所示，点O到边AB上的垂足为J，|OJ|即为所求半径。垂足I的求法：(O-(A+t1v1)).v1 = 0，求出t1，即可得垂足I为A+t1v1。

        现在需要求得内切圆的X轴参考方向和Y轴参考方向，X轴参考方向可选为v1。先求圆的法向v1×v2，则Y轴的参考方向为：normal(v1×v2×v1)。

        至此，圆所需的参数全部求得。