AVL树

Q0：向根结点为head的AVL树的左子树中插入一个节点后，可能同时导致head和head -> left 失去平衡，为什么只要调整head -> left 使以head -> left为根节点的左子树达到平衡就能使head达到平衡？

Q1：当向某个节点插入一个节点后，如果该节点失去平衡（即以该节点为根节点的树失去平衡，不再是AVL树），那么在调整该节点时，其子孙节点是否有被调整过？

A0：假设first是第一个失去平衡的节点（first节点的子孙节点都是平衡的），那么first失去平衡无非就是左子树高了，或者右子树高了。下面的四种情况穷举了所有导致first节点失去平衡的插入情况。插入之前，以first为根节点的AVL树的高度是H+2，旋转调整之后，以first为根节点的AVL树的高度仍为H+2，所以first的父节点仍然是平衡的，同理可推出first的所有祖先节点都是平衡的。

case one：左子树高了

左子树高了，意味着左子树的高度比右子树高2，说明在插入新节点之前左子树的高度比右子树高1。根据插入的新节点的插入位置可以再分两种情况，一是新节点插入在失去平衡的first节点的左孩子的左子树（即LL插入），二是新节点插入在first的左孩子的右子树（即LR插入）

LL：在插入节点1后，first节点第一个失去平衡，需要对first节点进行右旋转（顺时针方向旋转）

LR：在插入节点7后，first节点第一个失去平衡，需要对first节点进行左右旋转（先对first -> left进行左旋转（逆时针方向旋转），再对first进行右旋转（顺时针方向旋转））

case two：右子树高了

右子树高了，意味着右子树的高度比左子树高2，说明在插入新节点之前右子树的高度比左子树高1。根据插入的新节点的插入位置可以再分两种情况，一是新节点插入在失去平衡的first节点的右孩子的左子树（即RL插入），二是新节点插入在first的右孩子的右子树（即RR插入）

RL：在插入节点5后，first节点第一个失去平衡，需要对first节点进行右左旋转（先对first -> right进行右旋转（顺时针方向旋转），再对first进行左旋转（逆时针方向旋转））

RR：插入节点9后，first节点第一个失去平衡，需要对first进行左旋转（逆时针方向旋转）

A1：当某个节点A失去平衡需要被调整时，其子孙节点一定是平衡的，没有被调整过的。因为根据A1中的四种调整情况，如果其子孙节点有被调整过，那么其子孙节点的祖先节点一定是平衡的，即节点A是平衡的，而如果节点A不平衡，则其子孙节点都是未被调整过的。

先把所有的元素建成一棵树，然后再判断这棵树是否是AVL树是很难的。AVL树的建立就是通过在一棵已经是AVL的树上插入一个新节点，然后再判断插入新节点后该树是否还是AVL，如果不是，则进行相应的调整。由于在插入新节点之前，该树已经是AVL树，那么插入新元素之后，如果不再是AVL树，则要么是根节点的左子树高了，那么是根节点的右子树高了。因此，我们可以穷举出导致原AVL树失去平衡的总共只有四种插入方法，对这四种插入方法，分别有四种调整方法使新的树变成AVL树。

AVL树的建立是一个递归的过程，假设head是一棵AVL树的根结点，当向head插入一个新的节点时，如果插入到head的左子树中，那么在对head节点进行调用时，会先对head->left进行调整，使得以head->left为根节点的左子树是一棵AVL树；然后再对head进行调整。旋转是针对某个节点做的，即调整以该节点为根节点的树使之成为AVL树。

两个有用链接

http://zh.wikipedia.org/wiki/AVL%E6%A0%91

http://blog.csdn.net/collonn/article/details/20128205

LL 插入：左旋转，对应附录代码中的函数 left_rotate

RR 插入：右旋转，对应附录代码中的函数 right_rotate

LR 插入：左右旋转 ，对应附录代码中的函数left_right_rotate

RL 插入：右左旋转 ，对应附录代码中的函数right_left_rotate

备注：旋转时，是低位（深度大）节点保持不动，高位节点旋转。左旋转是逆时针方向旋转，右旋转是顺时针方向旋转。

附录：本人实现的AVL树

#include <queue>int max(int a, int b){if(a > b)return a;return b;}struct node{node* left;node* right;int data;};class AVL{public:AVL();template<class InputIterator>AVL(InputIterator first, InputIterator last);void insert(int value);void display();protected:node* insert_aux(node* head, int value);int height(node* head);node* left_rotate(node* head);node* right_rotate(node* head);node* left_right_rotate(node* head);node* right_left_rotate(node* head);private:node* head;};AVL::AVL(){head = 0;}template<class InputIterator>AVL::AVL(InputIterator first, InputIterator last){while(first != last){head = insert_aux(head, *first);first++;}}void AVL::insert(int value){head = insert_aux(head, value);}// 层次输出，- 表示该节点为空void AVL::display(){std::queue<node*> q;q.push(head);while(!q.empty()){if(q.front() != 0){std::cout << q.front() -> data << ' ';q.push(q.front() -> left);q.push(q.front() -> right);}elsestd::cout << "- ";q.pop();}}/** * @brief: 该函数向根节点为head的AVL树中插入value，得到一棵新的AVL树 * @pre_condition: head必须是一棵AVL树 * @post_condition: 返回的也是一棵AVL树 * @param head: head是插入value前的AVL树的根节点 * @param value: value是被插入的值 * @return: 返回是的新的AVL树的根节点*/node* AVL::insert_aux(node* head, int value){if(head == 0){head = (node*)malloc(sizeof(node));head -> data = value;head -> left = head -> right = 0;return head;}if(value == head -> data)return head;if(value < head -> data){// insert_aux(head -> left, value)会在head -> left树中插入一个新节点// 并调整head -> left为根的树使之成为AVL树，再返回调整后得到的AVL树的根节点head -> left = insert_aux(head -> left, value);if(height(head -> left) > height(head -> right) + 1) // head is unbalanced {if(value < head -> left -> data)head = right_rotate(head);// (1) LLelsehead = left_right_rotate(head); // (3) LR}}else{head -> right = insert_aux(head -> right, value);if(height(head -> left) + 1 < height(head -> right)){if(value < head -> right -> data)head = right_left_rotate(head);// (4) RLelsehead = left_rotate(head);// (2) RR}}return head;}int AVL::height(node* head){if(head == 0)return 0;return 1 + max(height(head -> left), height(head -> right));}/* * @brief: 左旋转，即逆时针旋转，对应 RR 插入 *         旋转是针对某棵树的操作，即针对某个根节点的操作*/node* AVL::left_rotate(node* head){node* nhead = head -> right;head -> right = nhead -> left;nhead -> left = head;return nhead;}/* * @brief: 右旋转，即顺时针旋转，对应 LL 插入*/node* AVL::right_rotate(node* head){node* nhead = head -> left;head -> left = nhead -> right;nhead -> right = head;return nhead;}/* * @brief: 左右旋转，先左旋转，再右旋转，对应 LR 插入*/node* AVL::left_right_rotate(node* head){head -> left = left_rotate(head -> left);node* nhead = right_rotate(head);return nhead;}/* * @brief: 右左旋转，先右旋转，再左旋转，对应 RL 插入*/node* AVL::right_left_rotate(node* head){head -> right = right_rotate(head -> right);node* nhead = left_rotate(head);return nhead;}

测试程序

int main() { int a[] = {8,7,2,9,0,1,3,6,4,20,14,24,5};AVL tree(a, a + sizeof(a) / 4);tree.display();cout << endl;    return (0); }