Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

Dijkstra算法的迭代过程：

以下是具体的实现:

<iostream>using namespace std;  const int maxnum = 100; const int maxint = 999999; // 各数组都从下标1开始 int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度 int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点 int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度 int n, line; // 图的结点数和路径数 // n -- n nodes// v -- the source node// dist[] -- the distance from the ith node to the source node// prev[] -- the previous node of the ith node// c[][] -- every two nodes' distance void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum]) {bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中for(int i=1; i<=n; ++i) { dist[i] = c[v][i]; s[i] = 0; // 初始都未用过该点if(dist[i] == maxint)prev[i] = 0;else  prev[i] = v; }dist[v] = 0;  s[v] = 1; // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  // 注意是从第二个节点开始，第一个为源点for(int i=2; i<=n; ++i){ int tmp = maxint;  int u = v;  // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n; ++j)  if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  { u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  tmp = dist[j];  }s[u] = 1; // 表示u点已存入S集合中 // 更新distfor(int j=1; j<=n; ++j)  if((!s[j]) && c[u][j]<maxint){ int newdist = dist[u] + c[u][j];  if(newdist < dist[j]){ dist[j] = newdist; prev[j] = u; } }}} // 查找从源点v到终点u的路径，并输出 void searchPath(int *prev,int v, int u) {int que[maxnum];int tot = 1;que[tot] = u;tot++; int tmp = prev[u]; while(tmp != v){que[tot] = tmp;  tot++;  tmp = prev[tmp]; } que[tot] = v;for(int i=tot; i>=1; --i)  if(i != 1)cout << que[i] << " -> ";else  cout << que[i] << endl;}  int main() { freopen("input.txt", "r", stdin);// 各数组都从下标1开始 // 输入结点数cin >> n;// 输入路径数cin >> line;int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度 // 初始化c[][]为maxintfor(int i=1; i<=n; ++i)for(int j=1; j<=n; ++j)  c[i][j] = maxint; for(int i=1; i<=line; ++i) { cin >> p >> q >> len; if(len < c[p][q]) // 有重边{ c[p][q] = len; // p指向qc[q][p] = len; // q指向p，这样表示无向图  }} for(int i=1; i<=n; ++i)  dist[i] = maxint; for(int i=1; i<=n; ++i){ for(int j=1; j<=n; ++j)printf("%8d", c[i][j]);printf("\n");} Dijkstra(n, 1, dist, prev, c); // 最短路径长度cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl; // 路径cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";searchPath(prev, 1, n); }

输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5