树上莫队算法

继续回来写博客……记录点有意思的题目什么的。

貌似写过这个的没多少人……所以我也记录一点。

首先序列上的莫队大家都应该很熟悉了……

那么树上的莫队要怎么搞呢？

先来看个题目……SPOJ COT2：求树上两点间路径上有多少个不同的点权。

序列上的莫队是把询问按照左端点分块了……可是树上没有左端点，怎么办呢？我们把树分块。

按照DFS时间戳顺序，将树分成O(sqrt(n))个大小为O(sqrt(n))的块，那么树上的莫队询问排序的第一关键字就是第一个节点所在的块了！

这样分块以后，任意两个块之间的距离也是O(sqrt(n))级别的，所以时间复杂度是有保证的。

第二个关键字自然就是节点的DFS时间戳了！

但是，还有一个问题。树上的区间要怎么转移呢？要怎么从一个区间变到另一个区间呢？

这就有些难了，因为树上有LCA，貌似不好处理。

Orz了wyfcyx后，找到了vfk的博客看了一下。

“

用S(v, u)代表 v到u的路径上的结点的集合。

用root来代表根结点，用lca(v, u)来代表v、u的最近公共祖先。

那么

S(v, u) = S(root, v) xor S(root, u) xor lca(v, u)

其中xor是集合的对称差。

简单来说就是节点出现两次消掉。

lca很讨厌，于是再定义

T(v, u) = S(root, v) xor S(root, u)

观察将curV移动到targetV前后T(curV, curU)变化：

T(curV, curU) = S(root, curV) xor S(root, curU)

T(targetV, curU) = S(root, targetV) xor S(root, curU)

取对称差：

T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= (S(root, curV) xor S(root, curU)) xor (S(root, targetV) xor S(root, curU))

由于对称差的交换律、结合律：

T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= S(root, curV) xorS(root, targetV)

两边同时xor T(curV, curU)：

T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor S(root, curV) xor S(root, targetV)

发现最后两项很爽……哇哈哈

T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor T(curV, targetV)

（有公式恐惧症的不要走啊 T_T）

也就是说，更新的时候，xor T(curV, targetV)就行了。

即，对curV到targetV路径(除开lca(curV, targetV))上的结点，将它们的存在性取反即可。

”
——vfk博客

这样就很好处理了，只要把LCA扔出去，考虑剩下的部分，转移一下就可以了。查答案的时候再把LCA那个点反过来，就能统计出答案了。

这样，类比序列上的莫队，我们对树上的询问也可以分块了，时间复杂度同样是O(nsqrt(n))。

BZOJ 3757貌似是同一个题，就贴这个代码吧……COT2没写……SPOJ上怕T……

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<string>#include<cstring>#include<queue>#include<vector>#include<cmath>using namespace std;inline int getint(){char c=getchar();int con=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();while(c>='0'&&c<='9') con=con*10+c-'0',c=getchar();return con;}const int MAXN=100010;int n,m,K,lca,u,v,c[MAXN],dfn[MAXN],belongn[MAXN];int tot,root,dfs_clock,remain;int head[MAXN],to[MAXN],next[MAXN],cnt;int anc[MAXN][21],dep[MAXN],Log[MAXN];int Stack[MAXN],top;int p[MAXN],ans,con[MAXN];bool used[MAXN];struct Query{int u,v,a,b,sub;friend bool operator<(const Query &i,const Query &j){if(belongn[i.u]==belongn[j.u]) return dfn[i.v]<dfn[j.v];else return belongn[i.u]<belongn[j.u];}}Q[MAXN];inline void adde(int f,int t){cnt++,to[cnt]=t,next[cnt]=head[f],head[f]=cnt;cnt++,to[cnt]=f,next[cnt]=head[t],head[t]=cnt;}int DFS(int x){int size=0;dfn[x]=++dfs_clock;for(int i=head[x];i;i=next[i])if(to[i]!=anc[x][0]){dep[to[i]]=dep[x]+1,anc[to[i]][0]=x;size+=DFS(to[i]);if(size>=K){tot++;for(int i=1;i<=size;i++)belongn[Stack[top--]]=tot;size=0;}}Stack[++top]=x;return size+1;}int LCA(int p,int q){if(dep[p]<dep[q]) swap(p,q);int d=dep[p]-dep[q];for(int i=Log[d];i>=0;i--)if(d&(1<<i)) p=anc[p][i];for(int i=Log[n];i>=0;i--)if(anc[p][i]!=anc[q][i]) p=anc[p][i],q=anc[q][i];if(p!=q) return anc[p][0];else return p;}void work(int u,int v,int lca){while(u!=lca){if(!used[u]) {p[c[u]]++,used[u]=true;if(p[c[u]]==1) ans++;}else {p[c[u]]--,used[u]=false;if(p[c[u]]==0) ans--;}u=anc[u][0];}while(v!=lca){if(!used[v]) {p[c[v]]++,used[v]=true;if(p[c[v]]==1) ans++;}else {p[c[v]]--,used[v]=false;if(p[c[v]]==0) ans--;}v=anc[v][0];}}int main(){//freopen("apple.in","r",stdin);//freopen("apple.out","w",stdout);n=getint(),m=getint();K=(int)sqrt(n);for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=getint();for(int i=1;i<=n;i++){u=getint(),v=getint();if(u==0) root=v;else if(v==0) root=u;else adde(u,v);}for(int i=1;i<=m;i++){Q[i].u=getint(),Q[i].v=getint();Q[i].a=getint(),Q[i].b=getint();Q[i].sub=i;}remain=DFS(root);for(int i=1;i<=remain;i++) belongn[Stack[top--]]=tot;sort(Q+1,Q+m+1);Log[0]=-1;for(int i=1;i<=n;i++) Log[i]=Log[i>>1]+1;for(int i=1;i<=Log[n];i++)for(int j=1;j<=n;j++)anc[j][i]=anc[anc[j][i-1]][i-1];work(Q[1].u,Q[1].v,lca=LCA(Q[1].u,Q[1].v));if(!used[lca]) {p[c[lca]]++,used[lca]=true;if(p[c[lca]]==1) ans++;}else {p[c[lca]]--,used[lca]=false;if(p[c[lca]]==0) ans--;}con[Q[1].sub]=ans;if(p[Q[1].a]!=0&&p[Q[1].b]!=0) con[Q[1].sub]--;if(!used[lca]) {p[c[lca]]++,used[lca]=true;if(p[c[lca]]==1) ans++;}else {p[c[lca]]--,used[lca]=false;if(p[c[lca]]==0) ans--;}for(int i=2;i<=m;i++){work(Q[i-1].u,Q[i].u,LCA(Q[i-1].u,Q[i].u));work(Q[i-1].v,Q[i].v,LCA(Q[i-1].v,Q[i].v));lca=LCA(Q[i].u,Q[i].v);if(!used[lca]) {p[c[lca]]++,used[lca]=true;if(p[c[lca]]==1) ans++;}else {p[c[lca]]--,used[lca]=false;if(p[c[lca]]==0) ans--;}con[Q[i].sub]=ans;if(p[Q[i].a]!=0&&p[Q[i].b]!=0&&Q[i].a!=Q[i].b) con[Q[i].sub]--;if(!used[lca]) {p[c[lca]]++,used[lca]=true;if(p[c[lca]]==1) ans++;}else {p[c[lca]]--,used[lca]=false;if(p[c[lca]]==0) ans--;}}for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",con[i]);return 0;}

感觉好神啊……vfk的那个方法确实好用，这个算法也好有趣。

（未完待续……）

WC2013 糖果公园 待填坑

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<string>#include<cstring>#include<queue>#include<vector>#include<cmath>using namespace std;typedef long long LL;const int MAXN=300010;int n,m,u,v,Q,K,Type,C[MAXN],Ctmp[MAXN];LL V[MAXN],W[MAXN],ans,con[MAXN];int head[MAXN],to[MAXN],next[MAXN],cnt;int belongn[MAXN],tot,remain;int anc[MAXN][20],dep[MAXN],Log[MAXN];int Stack[MAXN],top;int Qtot,Ctot,Query_clock=1;int p[MAXN],lca;bool used[MAXN];struct QQ{int x,y,t,id;friend bool operator<(const QQ &i,const QQ &j){if(belongn[i.x]<belongn[j.x]) return true;else if(belongn[i.x]==belongn[j.x]&&belongn[i.y]<belongn[j.y]) return true;else if(belongn[i.x]==belongn[j.x]&&belongn[i.y]==belongn[j.y]&&i.t<j.t) return true;return false;}}Query[MAXN];struct CC{int pos,x,y;}Change[MAXN];inline void adde(int f,int t){cnt++,to[cnt]=t,next[cnt]=head[f],head[f]=cnt;cnt++,to[cnt]=f,next[cnt]=head[t],head[t]=cnt;}int DFS(int x){int size=0;for(int i=head[x];i;i=next[i])if(to[i]!=anc[x][0]){anc[to[i]][0]=x;dep[to[i]]=dep[x]+1;size+=DFS(to[i]);if(size>=K){tot++;for(int i=1;i<=size;i++) belongn[Stack[top--]]=tot;size=0;}}Stack[++top]=x;return size+1;}int LCA(int p,int q){if(dep[p]<dep[q]) swap(p,q);int d=dep[p]-dep[q];for(int i=Log[d];i>=0;i--)if(d&(1<<i)) p=anc[p][i];for(int i=Log[n];i>=0;i--)if(anc[p][i]!=anc[q][i]) p=anc[p][i],q=anc[q][i];if(p!=q) return anc[p][0];return p;}void Reverse(int x){if(!used[x]) p[C[x]]++,ans+=V[C[x]]*W[p[C[x]]];else ans-=V[C[x]]*W[p[C[x]]],p[C[x]]--;used[x]^=1;}void ChangeVer(int x,int d){int pos=Change[x].pos;if(d==1){if(used[pos]) Reverse(pos),C[pos]=Change[x].y,Reverse(pos);else C[pos]=Change[x].y;}else{if(used[pos]) Reverse(pos),C[pos]=Change[x].x,Reverse(pos);else C[pos]=Change[x].x;}}void work(int x,int y,int lca){while(x!=lca) Reverse(x),x=anc[x][0];while(y!=lca) Reverse(y),y=anc[y][0];}int main(){scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);K=(int)pow((double)n,2.0/3);for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld",&V[i]);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&W[i]);for(int i=1;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),adde(u,v);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&C[i]),Ctmp[i]=C[i];for(int i=1;i<=Q;i++){scanf("%d%d%d",&Type,&u,&v);if(Type==0){Ctot++,Query_clock++;Change[Ctot].pos=u,Change[Ctot].x=Ctmp[u],Change[Ctot].y=v;Ctmp[u]=v;}else{Qtot++;Query[Qtot].x=u,Query[Qtot].y=v,Query[Qtot].t=Query_clock;Query[Qtot].id=Qtot;}}remain=DFS(1);for(int i=1;i<=remain;i++) belongn[Stack[top--]]=tot;sort(Query+1,Query+Qtot+1);Log[0]=-1;for(int i=1;i<=n;i++) Log[i]=Log[i>>1]+1;for(int i=1;i<=Log[n];i++)for(int j=1;j<=n;j++)anc[j][i]=anc[anc[j][i-1]][i-1];work(Query[1].x,Query[1].y,lca=LCA(Query[1].x,Query[1].y));for(int i=1;i<Query[1].t;i++) ChangeVer(i,1);Reverse(lca),con[Query[1].id]=ans,Reverse(lca);for(int i=2;i<=Qtot;i++){work(Query[i-1].x,Query[i].x,LCA(Query[i-1].x,Query[i].x));work(Query[i-1].y,Query[i].y,LCA(Query[i-1].y,Query[i].y));for(int j=Query[i-1].t;j<Query[i].t;j++) ChangeVer(j,1);for(int j=Query[i-1].t-1;j>=Query[i].t;j--) ChangeVer(j,-1);lca=LCA(Query[i].x,Query[i].y);Reverse(lca),con[Query[i].id]=ans,Reverse(lca);}for(int i=1;i<=Qtot;i++) printf("%lld\n",con[i]);return 0;}