【算法】树上启发式合并算法

        树上启发式合并算法是启发式合并算法在树上的应用。下面我直接通过一个例子来讲解这个算法。

        例：给定一棵有根树，树的结点编号为1~n，根结点为结点1。结点i有颜色col[i]，其中1≤col[i]≤n。要求回答m个询问，每个询问回答颜色c在子树u中出现多少次。

        显然要将查询离线处理，即对子树u的查询都“挂”到结点u上。我们用cnt[c]表示颜色c出现的次数，那么一种容易想到的暴力做法如下：

        0.cnt[]数组初始化为0；

        1.从结点1开始dfs整棵树。dfs至结点u时，按如下步骤处理挂在子树u内的结点上的查询：

        (1)dfs结点u的各个儿子；

        (2)遍历一遍子树u，在遍历的同时更新cnt[]数组；

        (3)给出挂在结点u上的查询的答案；

        (4)遍历一遍子树u，在遍历的同时更新cnt[]数组（把对cnt[]数组的贡献抹去）。

        显然这个暴力做法的时间复杂度为O(n²)。容易想到的一个优化是在步骤1(0)中u的最后一个儿子对cnt[]数组的贡献可以保留着，这样步骤1(1)就不需要遍历以该儿子为根的子树。这个优化有多大效果呢？事实上，如果我们适当改变dfs顺序，使得被dfs的最后一个儿子对应的子树是诸位儿子中最大的，那么这个优化可以把时间复杂度降至O(nlgn)。

        带这种优化的暴力做法就是树上启发式合并。在遍历时，用bool变量keep来表示子树u对cnt[]数组的贡献是否要保留。算法步骤如下：

        0.cnt[]数组初始化为0；

        1.从结点1开始dfs整棵树。dfs至结点u时，按如下步骤处理挂在子树u内的结点上的查询：

        (1)找到结点u的对应最大子树的儿子bc；

        (2)dfs结点u的各个儿子，其中结点bc是u的最后一个被遍历到的儿子，递归处理时若该子结点非bc则keep赋值为0，否则赋值为1；

        (3)遍历一遍子树u，但不遍历子树bc，在遍历的同时更新cnt[]数组；

        (4)给出挂在结点u上的查询的答案；

        (5)若keep为0，遍历一遍子树u，在遍历的同时更新cnt[]数组（把对cnt[]数组的贡献抹去）。

        下面简单地计算算法的时间复杂度：算法的耗时来自于对查询的回答与各结点对cnt[]数组的操作。由于每次查询都是O(1)的，所以查询的总复杂度为O(m)，可以忽略。考虑结点u对cnt[]数组的操作次数，设u的祖先从近到远依次为w_1，w_2，...，w_t。处理子树u时，结点u第一次对cnt[]数组进行操作，而结点u下一次对cnt[]数组进行操作，发生在u下一次不在某个祖先的儿子子树中最大的那棵中时，我们来说明这样的事只能发生O(lgn)次。若u不在w_k的儿子子树中最大的那棵中，则有size(w_k-1)*2≤size(w_k)，由于size(w_t)=n，所以这样的事（u不在w_k的儿子子树中最大的那棵中）只能发生O(lgn)次。综上，各节点对cnt[]数组的操作次数为O(nlgn)。

        下面给出树上启发式合并的关键代码：

void dfs1(int u,int fu)          //sz[u]为子树u的大小，st[u]与ft[u]分别为子树u的dfs开始时间与结束时间，ver[time]为time时刻dfs的结点编号{sz[u]=1;st[u]=++t_c;ver[t_c]=u;for (int i=0;i<G[u].size();i++){int v=G[u][i];if (v==fu) continue;dfs1(v,u);sz[u]+=sz[v];}ft[u]=t_c;}void dfs2(int u,int fu,bool keep){int bc=0;for (int i=0;i<G[u].size();i++){int v=G[u][i];if (v==fu) continue;if (!bc||sz[bc]<sz[v]) bc=v;}for (int i=0;i<G[u].size();i++){int v=G[u][i];if (v==fu||v==bc) continue;dfs2(v,u,0);}if (bc) dfs2(bc,u,1);for (int i=0;i<G[u].size();i++){int v=G[u][i];if (v==fu||v==bc) continue;for (int j=st[v];j<=ft[v];j++) in(ver[j]);}in(u);ans[u]=getans();if (!keep) for (int j=st[u];j<=ft[u];j++) out(ver[j]);}

        习题与解答（待更新）

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参考资料