矩阵奇异值简要介绍
来源:互联网 发布:linux 设置dns解析 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 20:51
奇异值分解是一个非常,非常,非常大的话题,它的英文是 Singular Value Decomposition,一般简称为 SVD。下面先给出它大概的意思:
对于任意一个
其中
U 是一个m×n 的矩阵,满足UTU=In ,In 是n×n 的单位阵V 是一个n×n 的矩阵,满足VTV=In D 是一个n×n 的对角矩阵,所有的元素都非负
先别急,我看到这个定义的时候和你一样晕,感觉信息量有点大。事实上,上面这短短的三条可以引发出 SVD 许多重要的性质,而我们今天要介绍的也只是其中的一部分而已。
前面的表达式
其中每一个
它们被称为右奇异向量。再然后,假设矩阵
其中
这个式子有什么用呢?注意到,我们假定
那么我们是否可以用
答案是肯定的,不过等一下,这个想法好像似曾相识?对了,多元统计分析中经典的主成分分析就是这样做的。在主成分分析中,我们把数据整体的变异分解成若干个主成分之和,然后保留方差最大的若干个主成分,而舍弃那些方差较小的。事实上,主成分分析就是对数据的协方差矩阵进行了类似的分解(特征值分解),但这种分解只适用于对称的矩阵,而 SVD 则是对任意大小和形状的矩阵都成立。(SVD 和特征值分解有着非常紧密的联系,此为后话)
我们再回顾一下,主成分分析有什么作用?答曰,降维。换言之,就是用几组低维的主成分来记录原始数据的大部分信息,这也可以认为是一种信息的(有损)压缩。在 SVD 中,我们也可以做类似的事情,也就是用更少项的求和
我们知道,电脑上的图像(特指位图)都是由像素点组成的,所以存储一张 1000×622 大小的图片,实际上就是存储一个 1000×622 的矩阵,共 622000 个元素。这个矩阵用 SVD 可以分解为 622 个矩阵之和,如果我们选取其中的前 100 个之和作为对图像数据的近似,那么只需要存储 100 个奇异值
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