桶排序和样本排序（Bucket Sort and Sample Sort）

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9.5桶排序和样本排序

桶排序(bucket sort)算法是一种流行的串行算法，用于排序包含n个元素数组，其值在区间[a, b]上匀分布。在该算法中，区间[a, b]被分为m个大小相等的子区间称为桶，并且每个元素被放置在适当的桶中。由于n个元素在区间[a, b]上均匀分布，每个桶的元素数目大致为n/m。然后，该排序算法对每个桶中的元素进行排序。该算法的运行时间是Q(nlog(n/m))，格式化Q(n)，它具有线性运行时间:Q(n)。需要注意的是该桶排序之所以能达到很低复杂度，因为它假设进行排序的n个元素在区间[a, b]上是均匀分布的。

并行桶排序很简单。让n是被排序元素的数量，p是进程数目。最初，每个进程被分配了大小为n/p个元素的块，并且桶的数量m=p。并行桶排序包括三个步骤。在第一步骤中，每一个进程划分其n/p元素为p个子块，每个子块对应每个桶。这是可能的，因为每个进程都知道在区间[a, b]上，从而知道每个桶的区间。在第二步骤中，每一个进程发送子块到桶对应的进程。在此步骤之后，每个进程只有属于分配给它的桶中的元素。在第三步骤中，每一个进程通过使用最优顺序排序算法在内部排序其桶。

不幸的是，假设输入元素在区间[a, b]上均匀分布是不现实的。在大多数情况下，实际的输入可以不具有这样的分布，或它的分布可能是未知的。因此，使用桶排序可能会导致各个桶中的元素数量显著不同，从而降低排序性能。在这种情况下的使用称为样本排序(Sample Sort)的算法将产生更显著的性能。样本排序的想法很简单。大小为s的样本从n元素的序列中选取，并且选择样本排序后m-1个元素确定桶的范围。这些元素（称为分离器(splitter)）用来分离m个大小相等的桶。确定桶的范围后，该算法变成了一般方式的桶排序。样本排序的性能取决于样本的大小s和从n个元素中选定样本的方式。

考虑一个分路选择方案，它保证在每个桶在结束后元素的数目大致相同。设n为元素的数量m是桶的数量。该方案的工作原理如下，把n个元素分入m个大小为n/m的块中，分别用快速排序对每个块排序。从每个已排序的块中选择m-1个均匀分布的元素。总共选取m(m-1)个元素作为样本，并以此来确定每个桶的范围。这种方案保证，每个桶在结束时元素的数量小于2n/m（问题9.28）。

我们怎样才能并行分离器选择方案？设p是进程数。在桶排序中，设定m=p； 因此，在算法结束时，每个进程仅包含属于单个桶的元素。每个进程都被分配了一个n/p元素大小的块，并且进行排序。然后从中选择p-1个均匀间隔的元素。每个进程发送p-1个样本元素到一个特殊的进程P₀。然后进程P₀对p(p-1)个样本元素排序，并且从中选择均匀间隔的p-1元素作为分离器。最后，进程P₀将p-1个分离器广播到所有其他进程。现在，该算法与桶排序的方式相同。这种算法示于图9.20。

图9.20。样品排序与三个进程24元件阵列上执行的一个例子。

分析 我们现在分析样本排序的复杂性，在一个消息传递的计算机上p的进程和O(p)的二分带宽。

内部排序n/p元素需要时间Q((n/p)log(n/p))，选择p-1样品元素需要时间Q(P)。发送p-1的元素来处理P₀类似于收集操作（第4.4节）；所需要的时间是Q(P²)。在P₀上对p(p-1)个样本元素排序的时间是Q(p²logp)，以及选择p-1个分离器时间是Q(p)。该对p-1分离器是由使​​用一个对所有进程的广播（发送给所有其它进程第4.1节），这需要时间Q(plogp)。每个进程可以将这些p-1分路器大小的本地排序块n/p通过对p-1的二分搜索。每个进程从而分隔它的块分成p个子块，与每个桶相对应。这种划分需要的时间是Q(plog(n/p))。每个进程然后发送子块到相应进程（即，桶）。对于此步骤的通信时间是难以计算精确的，因为它依赖于子块的大小来进行通信。这些子块可以在0和任意变化n/p。因此，上界的沟通时间Ø(n)+Ö(plogp)。

如果我们假设存储在每个处理元件是均匀分布的，则每个子块具有大致Q(n/p²)的元素。在这种情况下，并行运行时间是

公式9.9

 

在这种情况下，等价效率函数是Q(p³logp）。如果双调排序用于将排序p(p-1)样品的元素，那么样本排序时间将是Q(plogp)，并且等价效率将减少到Q(p²logp)（问题9.30）。