BZOJ 1132 POI 2008 Tro 计算几何

题目大意：给出平面上的一些点，问这些点中的任意三个点组成的三角形的面积和是多少。

思路：看数据范围只算法系列。由于每个三角形有三个顶点，因此暴力的话应该是O(n^3)的时间复杂度，很明显超时了，但是我们只需要将它优化到O(n^2logn)就可以解决了。

好吧，剩下的随便猜一猜，比如O(n^2)的枚举，然后剩下的logn什么也干不了。。。

再比如O(n)的枚举，然后剩下O(nlogn)排序。。。

好像有戏啊。。

枚举每一个点，计算以这个点为坐标原点，在第一象限的所有点与原点组成的三角形的面积和。计算面积可以用叉积，但是这样算和暴力枚举有什么区别？

利用叉积的性质，我们简单的推倒一下。设原点为O，枚举到的两个点为AB，向量OA = (x1,y1),向量OB = (x2,y2)，则

S-OAB = |x1 * y2 - y2 * x2|

对于固定的一个点A来说，线段OA与其他所有点的面积和就是ΣS = x1 * Σy2 - y1 * Σx2

但是这需要满足面积不能为负数。只需要按照极角或者斜率排序一下就可以避免负数了。这样正好是O(n^2logn)

CODE：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#define INF 0x7f7f7f7f#define MAX 3010using namespace std; struct Point{    int x,y;    double slope;         Point(int _ = 0,int __ = 0):x(_),y(__) {}    bool operator <(const Point &a)const {        if(x == a.x)    return y < a.y;        return x < a.x;    }    Point operator -(const Point &a)const {        return Point(x - a.x,y - a.y);    }    void Read() {        scanf("%d%d",&x,&y);    }}point[MAX],now; int points; bool cmp(const Point &a,const Point &b){    return a.slope < b.slope;} inline long long Calc(int p,int cnt){    static Point temp[MAX];    now = point[p];    memcpy(temp + 1,point + p + 1,sizeof(Point) * cnt);    for(int i = 1; i <= cnt; ++i) {        temp[i] = temp[i] - now;        if(!temp[i].x)  temp[i].slope = INF;        else    temp[i].slope = (double)temp[i].y / (double)temp[i].x;    }    sort(temp + 1,temp + cnt + 1,cmp);     static long long sum_x[MAX],sum_y[MAX],re;    re = 0;    memset(sum_x,0,sizeof(sum_x));    memset(sum_y,0,sizeof(sum_y));    for(int i = cnt; i; --i) {        sum_x[i] = sum_x[i + 1] + temp[i].x;        sum_y[i] = sum_y[i + 1] + temp[i].y;    }    for(int i = 1; i < cnt; ++i) {        re += temp[i].x * sum_y[i + 1];        re -= temp[i].y * sum_x[i + 1];    }    return re;} int main(){    cin >> points;    for(int i = 1; i <= points; ++i)        point[i].Read();    sort(point + 1,point + points + 1);    long long ans = 0;    for(int i = 1; i <= points; ++i)        ans += Calc(i,points - i);    bool flag = ans&1;    printf("%lld.%d\n",ans >> 1,(int)flag ? 5:0);    return 0;}