最短路径算法学习

转自：最短路径算法深入分析

一、戴克斯特拉算法（Dijkstra algorithm）

该算法解决的是有向图中单个源点到其他顶点的最短路径问题。

戴克斯特拉算法的实现过程如下：
       第一步：用带权的矩阵WeiArcs来表示带权有向图，如果图中的两个顶点vi和vj是连通的，则用WeiArcs[i][j]表示这两个顶点所形成边的权值；如果vi和vj不连通，即<vi,vj>这条边不存在，那么将WeiArcs[i][j]置为∞。
       第二步：设S为已求得的从某一顶点v始发的最短路径的终点的集合，且S的初始状态为空，初始化时，将始发顶点置于S集合中。那么从v出发到图中其余各个顶点vi可能达到的最短路径长度的初值为D[i]。
       第三步：选择一顶点vj,使得vj就是当前求得的一条从顶点v出发的最短路径的终点。此时令S = S ∪ {vj}。
       第四步：修改从v出发到集合V-S（V为图顶点的集合）中任一顶点vk可达的最短路径长度。如果D[j]+WeiArcs[j][k] < D[K],则D[k] = D[j] + WeiArcs[j][k]。
       第五步：重复操作第三步、第四步共N-1次，由此就能求得从v出发到图中其余各个顶点的最短路径。

       好了，实现过程就是这样。不过光有文字描述不行，要更直白的表达这个过程，我认为用图像表述是一个很好的选择。如下图所示

                                 

从运算过程表中，我们可知v0到其余个点的最短路径，如下图

二、弗洛伊德算法（Floyd algorithm）

该算法解决的是有向带权图中两顶点之间最短路径的问题。
弗洛伊德算法的设计过程如下：
       用带权的矩阵WeiArcs来表示带权有向图，如果图中的两个顶点vi和vj是连通的，则用WeiArcs[i][j]表示这两个顶点所形成边的权值；如果vi和vj不连通，即<vi,vj>这条边不存在，那么将WeiArcs[i][j]置为∞。
       要求：求节点vi到节点vj的最短路径。
       设D(i,j,k)为从节点vi到节点vj的以vk（vk∈(0,1,...k)）节点为中间节点的最短路径的长度。例如：从vi到vj这条路径上经过节点vm和节点vk，那么可表示为：vi-->vm-->vk-->vj。

那么，就有：1.若最短路径经过节点vk，则D(i,j,k) = D(i,k,k-1) + D(k,j,k-1)；
                      2.若最短路径不经过节点vk，则D(i,j,k) = D(i,j,k-1)。
所以，求的vi到vj的最短路径可表示为：

D(i,j,k) = min（D(i,k,k-1) + D(k,j,k-1), D(i,j,k-1)）。