算法学习-最短路径算法

Dijkstra算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。

它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

基本思想

     通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

     此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

     初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。

以上是算法的思想，但理解起来比较困难，严蔚敏版数据结构书中讲得也比较抽象，在查找资料时，看到了一个比较详细的图解和介绍，链接为：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711512.html

经过一天的学习，才基本理解了算法的思想，在实现时参考了数据结构书上的算法。下面，给出自己编写的比较简单的算法。其中对图的定义可能不是很完整。

#include "iostream.h"#define infinity 1000   //定义为无穷大，即不存在边#define max 6typedef struct graph{int vexs[max];  //顶点向量int arcs[max][max];//带权邻接矩阵int vexnum,arcnum;//顶点数目、边数目}mgraph;void shortpath_dij(mgraph g,int v0,int p[max][max],int d[max]){int final[max];   //已经求得从v0到v的最短路径时，置为1for(int v=0;v<g.vexnum;++v)    //初始化{final[v]=0;d[v]=g.arcs[v0][v];//v0到v的距离for(int w=0;w<g.vexnum;++w)p[v][w]=0;if(d[v]<infinity)//距离不为无限大，即v0有边到v{p[v][v0]=1;p[v][v]=1;}}final[v0]=1;d[v0]=0;   //初始点for(int i=0;i<g.vexnum;++i)//循环，求v0到每个点v的最短路径{int min=infinity;for(int w=0;w<g.vexnum;++w){if(!final[w])if(d[w]<min)   //w点距离更近{v=w;min=d[w];}}final[v]=1;for(w=0;w<g.vexnum;++w)  //更新当前最短路径和距离{if(!final[w]&&(min+g.arcs[v][w]<d[w])){d[w]=min+g.arcs[v][w];for(int j=0;j<g.vexnum;++j)p[w][j]=p[v][j];p[w][w]=1;   }}}}void main(){int p[max][max];int d[max];//初始化图  注意赋值的格式(调试此处出现多次错误)mgraph m_g={{0,1,2,3,4,5},     {infinity,infinity,10,infinity,30,100,infinity,infinity,5,infinity,infinity,infinity,infinity,infinity,infinity,50,infinity,infinity,infinity,infinity,infinity,infinity,infinity,10,infinity,infinity,infinity,20,infinity,60,infinity,infinity,infinity,infinity,infinity,infinity},6,8};shortpath_dij(m_g,0,p,d);for(int i=0;i<m_g.vexnum;++i) {for(int j=0;j<m_g.vexnum;++j)//打印路径{cout<<p[i][j]<<" ";}cout<<d[i]<<" "<<endl;//打印距离}}

初始化的带权有向图如图：

运行结果为：

在程序结果中，每一行前六个为v0到此点的最短路径经过的顶点，最后一个为路径的距离。

此程序中值得改进的是，只求出了最短路径经过的顶点，但没有具体的路径走向，如v0->v5,使得结果显示为v0->v4->v3->v5,因为在边数过多的情况下，可能v0->v5的路径很多，这将是后期的工作。