CodeForces 489E Hiking

题意：

数轴上有n（1000）个点  每个点有个距离源点的距离xi和美观值bi  主人公站在源点  他希望每步步长len  但每一步必须落在n个点其中一个上  且行进方向唯一  走到点n后可以计算旅行的价值

对于所有走过的点i  val = sum( sqrt( abs(x[i]-x[i-1]-len) ) / b[i] )  目标val尽量小  打印路径方案

思路：

第一次做分数规划题  这题是比较典型的01规划

简单描述一下01规划  就是 ans = sum(ci*xi)/sum(di*xi) 其中xi为{0,1}

常规的解法是变形上述式子 F(ans) = sum(ci*xi) - sum(di*xi) * ans 这时我们将ans当成自变量  构造一个函数  容易发现F是单调的  那么就可以二分ans  将求解最值问题转换成判定可行性问题

对于本题  我们可以将val变形  val = sum(sqrt( abs(x[i]-x[i-1]-len))/sum(b[i])

那么也可以构建F函数 F(val) = sum(sqrt( abs(x[i]-x[i-1]-len) ) -sum(b[i]) * val 这时我们发现这个表达式由于计算中存在i和i-1位置的联系所以不是那么简单  但是也可以发现  我们将原本的除法式子变成了减法式子  这就会出现承袭性！！  我们可以利用dp计算状态之间的转移 dp[i] = dp[j] +sqrt( abs(x[i]-x[j]-len ) - b[i] * val （真谛就是用dp[j]包含了F中的sum）

这时二分val是logn的  对于每次的val我们可以用n^2的dp进行判定

代码：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<string>#include<algorithm>#include<map>#include<set>#include<vector>#include<queue>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<cmath>#include<bitset>using namespace std;#define N 1010int n, len;int x[N], b[N];int pre[N], out[N];double dp[N];bool yes(double ans) {for (int i = 1; i <= n; i++) {dp[i] = 1e30;for (int j = 0; j < i; j++) {double tmp = dp[j] + sqrt(1e-8 + abs(x[i] - x[j] - len))- ans * b[i];if (dp[i] > tmp) {dp[i] = tmp;pre[i] = j;}}}return dp[n] < 0;}int main() {scanf("%d%d", &n, &len);for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d%d", &x[i], &b[i]);double l = 0, r = 1e10, mid;while (r - l > 1e-8) {mid = (l + r) / 2;if (yes(mid)) {r = mid;} elsel = mid;}yes(l);len = 0;out[0] = n;while (pre[out[len]]) {out[len + 1] = pre[out[len]];len++;}for (int i = len; i >= 0; i--)printf("%d%s", out[i], (i == 0) ? "\n" : " ");return 0;}