第五章树和二叉树

第 5 章    树和二叉树

5.1   树的逻辑结构

树的定义

n（n≥0）个结点的有限集合。当n＝0时，称为空树；任意一棵非空树满足以下条件：

⑴ 有且仅有一个特定的称为根的结点；

⑵ 当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点的子树。

树的基本术语：

结点的度：结点所拥有的子树的个数。

树的度：树中各结点度的最大值。

叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。

分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点

孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点；

兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。 

路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为一条由n1至nk的路径；

路径上经过的边的个数称为路径长度。 

祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点x到结点y，则x称为y的祖先，而y称为x的子孙

结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩子结点在第k+1层。

树的深度：树中所有结点的最大层数，也称高度。

层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左到右的次序依次给他们编以从1开始的连续自然数。

有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。

森林：m (m≥0)棵互不相交的树的集合

树的遍历：从根结点出发，按照某种次序访问树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。 

5.2  树的存储结构

双亲表示法：用一维数组来存储树的各个结点（一般按层序存储），数组中的一个元素对应树中的一个结点，包括结点的数据信息以及该结点的双亲在数组中的下标。 

孩子链表表示法：把每个结点的孩子排列起来，看成是一个线性表，且以单链表存储，则n个结点共有 n 个孩子链表。这 n 个单链表共有 n 个头指针，这 n 个头指针又组成了一个线性表，为了便于进行查找采用顺序存储。最后，将存放 n 个头指针的数组和存放n个结点的数组结合起来，构成孩子链表的表头数组。  

双亲孩子表示法

孩子兄弟表示法

5.3 二叉树的逻辑结构

二叉树是n(n≥0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

特点

⑴ 每个结点最多有两棵子树；

⑵ 二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒。 

二叉树的基本形态：空二叉树

只有一个根结点

根结点只有右子树

根结点只有左子树

根结点同时有左右子树

特殊的二叉树：斜树

满二叉树

完全二叉树

二叉树的基本性质 

性质5-1 二叉树的第i层上最多有2i-1个结点（i≥1）。 

性质5-2   一棵深度为k的二叉树中，最多有2k-1个结点，最少有k个结点。 

性质5-3   在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则有: n0＝n2＋1。 

性质5-4  具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n  +1。 

性质5-5    对一棵具有n个结点的完全二叉树中从1开始按层序编号，则对于任意的序号为i（1≤i≤n）的结点（简称为结点i），有： 

（1）如果i＞1，则结点i的双亲结点的序号为  i/2；如果i＝1，则结点i是根结点，无双亲结点。 

（2）如果2i≤n，则结点i的左孩子的序号为2i；

如果2i＞n，则结点i无左孩子。 

（3）如果2i+1≤n，则结点i的右孩子的序号为2i+1；如果2i+1＞n，则结点 i无右孩子。 

二叉树的遍历：指从根结点出发，按照某种次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

5.4 二叉树的存储结构及实现

顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置（下标）应能体现结点之间的逻辑关系——父子关系。 

二叉链表：令二叉树的每个结点对应一个链表结点，链表结点除了存放与二叉树结点有关的数据信息外，还要设置指示左右孩子的指针。 

三叉链表：在二叉链表的基础上增加了一个指向双亲的指针域

中序线索链表的建立——构造函数

1. 建立二叉链表，将每个结点的左右标志置为0；

2. 遍历二叉链表，建立线索；

   2.1 如果二叉链表root为空，则空操作返回；

   2.2 对root的左子树建立线索；

   2.3 对根结点root建立线索；

      2.3.1 若root没有左孩子，则为root加上前驱线索;

      2.3.2 若root没有右孩子，则将root右标志置为1；

      2.3.3 若结点pre右标志为1，则为pre加上后继线索；

      2.3.4 令pre指向刚刚访问的结点root；

   2.4 对root的右子树建立线索。 

5.5  二叉树遍历的非递归算法

二叉树前序遍历的非递归算法：在前序遍历过某结点的整个左子树后，如何找到该结点的右子树的根指针。

解决办法：在访问完该结点后，将该结点的指针保存在栈中，以便以后能通过它找到该结点的右子树。 

5.6   树、森林与二叉树的转换

树转换为二叉树 

⑴加线——树中所有相邻兄弟之间加一条连线。 

⑵去线——对树中的每个结点，只保留它与第一个孩子结点之间的连线，删去它与其它孩子结点之间的连线。 

⑶层次调整——以根结点为轴心，将树顺时针转动一定的角度，使之层次分明。 

森林转换为二叉树 

⑴ 将森林中的每棵树转换成二叉树；

⑵ 从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。

二叉树转换为树或森林 

⑴ 加线——若某结点x是其双亲y的左孩子，则把结点x的右孩子、右孩子的右孩子、……，都与结点y用线连起来；

⑵ 去线——删去原二叉树中所有的双亲结点与右孩子结点的连线；

⑶ 层次调整——整理由⑴、⑵两步所得到的树或森林，使之层次分明。 

5.7    哈夫曼树及哈夫曼编码

哈夫曼树：给定一组具有确定权值的叶子结点，带权路径长度最小的二叉树。

哈夫曼树应用——哈夫曼编码

前缀编码：一组编码中任一编码都不是其它任何一个编码的前缀 。

前缀编码保证了在解码时不会有多种可能。