第六章图

第六章      图

6.1 图的逻辑结构

图：由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：

                           G=(V，E)

其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。 

 

图的基本数语：

简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。

邻接、依附

无向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在边(vi，vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点，同时称边(vi，vj)依附于顶点vi和顶点vj。

邻接、依附

有向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在弧<vi，vj>，则称顶点vi邻接到顶点vj，顶点vj邻接自顶点vi，同时称弧<vi，vj>依附于顶点vi和顶点vj 。 

无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。

有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。  

稀疏图：称边数很少的图为稀疏图；

稠密图：称边数很多的图为稠密图。

顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID (v)；

顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。

权：是指对边赋予的有意义的数值量。

网：边上带权的图，也称网图

路径：在无向图G=(V, E)中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2, …, vim=vq)，其中，(vij-1,vij)∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足<vij-1,vij>∈E。

回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。

简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。

简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。

图的抽象数据类型定义 

图的遍历操作

图的遍历是在从图中某一顶点出发，对图中所有顶点访问一次且仅访问一次。 

1. 深度优先遍历 

⑴ 访问顶点v；

⑵ 从v的未被访问的邻接点中选取一个顶点w，从w出发进行深度优先遍历；

⑶ 重复上述两步，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。 

2. 广度优先遍历 

⑴ 访问顶点v；

⑵ 依次访问v的各个未被访问的邻接点v1, v2, …, vk；

⑶ 分别从v1，v2，…，vk出发依次访问它们未被访问的邻接点，并使“先被访问顶点的邻接点”先于“后被访问顶点的邻接点”被访问。直至图中所有与顶点v有路径相通的顶点都被访问到。

6.2 图的存储结构及实现

邻接矩阵（数组表示法）

基本思想：用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系。

邻接表

邻接表存储的基本思想：对于图的每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点链成一个单链表，称为顶点vi的边表（对于有向图则称为出边表），所有边表的头指针和存储顶点信息的一维数组构成了顶点表。 

6.3  最小生成树

生成树的代价：设G = (V, E)是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。 

最小生成树：在图G所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树

普里姆（Prim）算法 

设G=(V, E)是具有n个顶点的连通网，T=(U, TE)是G的最小生成树， T的初始状态为U={u0}（u0∈V），TE={ }，重复执行下述操作：在所有u∈U，v∈V-U的边中找一条代价最小的边(u, v)并入集合TE，同时v并入U，直至U=V。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 

设无向连通网为G＝(V, E)，令G的最小生成树为T＝(U, TE)，其初态为U＝V，TE＝{ }，然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。 

6.4  最短路径

在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。 

在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径

Dijkstra算法

基本思想：设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。

6.5  有向无环图及其应用 

关键路径：在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径称为关键路径。

关键活动：关键路径上的活动称为关键活动