网络描述和随机图模型

无向图的平均度：k = 2E / N

有向图的平均度：k = E / N

完全图的平均度：k = N-1

 

现实世界中的网络都是稀疏的，即k << N – 1，那么邻接矩阵中绝大多是为0。（矩阵的密度为E/N²）。

 

如何度量网络？即网络的特征是什么？

1 度的分布

随机选择一个节点，它的度为k，然后统计度为k的节点个数N_k，然后做出归一化直方图。

P(k) = N_k / N

 

2 路径长度

网络直径：对于图中任意节点之间的最大距离。

路径的平均长度（连通图或者连通分量）：  

h_ij为节点i到节点j之间的距离。

 

3 聚集度

节点i的邻居是连通的所占的比例，Ci∈[0,1]，并且

 

平均聚集度：  

 

现实世界中网络（MSN Messenger）的描述：

度的分布：

聚集度：

路径长度：

平均路径长度为6.60，90%以上的节点在8跳（hop）以内就可以访问到。

结论：

度的分布：严重偏斜，平均度为14.4；

路径长度：平局长度6.6；

聚集度：0.11

Erdös-Renyi随机图模型

G_n,p：在n个节点无向图中，每条边edge(u,v)独立同分布，出现的概率为p。

度的分布：二项分布， 

路径长度：  O(logⁿ)  8.2    6.6（MSN）

聚集度：     8*10^-8    0.11（MSN）

参考资料：

Social and Information Network Analysis