希尔伯特(Hilbert)变换

2.3希尔伯特变换

2.3.1希氏变换

    希氏变换是完全在时域中进行的一种特殊的正交变换。也可以看成它是由一种特殊的滤波器完成的。

    为了便于理解变换特点，我们首先讨论这种变换在频域中的规律（规则），然后再返回到时域来进一步认识它，并且变换后信号以 表示，相应频谱以 表示。

1．希氏（频域）变换定义

   若信号存在傅立叶变换对 ，则其希氏变换的频谱等于该信号频谱 的负频域全部频率成分相移 ，而正频域相移 ——完成这种变换的传递函数称为希氏滤波器传递函数，即有：

(2-25)

    则希氏变换频谱为

                  

(2-26)

2．希氏（时域）变换定义

    为了得出时域中进行希氏变换的规则，可以很简单地由上述希氏滤波器传递函数 ，求出其冲激响应 ：

  

(2-27a)

   利用傅立叶变换的互易定理，可由 反演出 ：

              

(2-27b)

    因此希氏变换的时域表示式为：

(2-28)

由希式变换的定义：

（1） 余弦信号的希式变换等于正弦信号；

（2） 正弦信号的希式变换等于余弦信号。

    希氏变换在本章最后窄带噪声统计特征分析中，以及线性调制单边带生成过程中，均有非常重要的作用。

2.3.2希氏变换的主要性质

   1．信号 与其希氏变换 的幅度频谱、功率（能量）谱以及自相关函数和功率（能量）均相等。这是由于功率谱、能量谱不反映信号相位特征。相应的，自相关函数也不反映信号的时间位置。

   2． 希氏变换 再进行希氏变换表示为 。则有：

       (2-29)

3． 与 互为正交。

    为证明最后一个性质的正确性，可通过互相关与能量谱进行计算：

    式中右边：

(2-30)

    由上式最后一个积分式可以看出，被积函数为奇函数与偶函数之乘积，因此该项积分等于0。于是，可得正交关系，即：

(能量信号)           (2-31)

   或

(功率信号)               (2-32)