【数学】康托和逆康托展开(全排列顺序问题)
来源:互联网 发布:淘宝新品上架链接在哪 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 15:04
康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中,ai为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。
这个公式可能看着让人头大,最好举个例子来说明一下。例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥?
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0)
所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5
通过康托逆展开生成全排列
如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?
因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:
知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
这样我们就能写出一个函数 Permutation3(),它可以返回 s 的第 m 个排列。
前面的内容从http://archive.cnblogs.com/a/2026276/转载
#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>#include<cstdlib>using namespace std;class cantor{public:int n;//字符串的长度string s;int pos;//字符串在全排列中的字典位置,从0开始vector<int>num;//所有的字符cantor(string s):s(s){n=s.size();}cantor(int n,int pos):n(n),pos(pos){int i;for(i=0;i<n;i++)num.push_back(i);}int fac(int);void encode();void decode();};int cantor::fac(int num){if(num==0) return 1;else return num*fac(num-1);}void cantor::encode(){int i,j,count;vector<int>vec(n);for(i=0;i<n;i++){count=0;for(j=i;j<n;j++)if(s[i]>s[j]) count++;vec[n-i-1]=count;}pos=0;for(i=0;i<s.size();i++)pos+=vec[i]*fac(i);}void cantor::decode(){int i;div_t divresult;for(i=n-1;i>=0;i--){divresult=div(pos,fac(i));求余数与除数s.push_back(num[divresult.quot]+'0');num.erase(num.begin()+divresult.quot);pos=divresult.rem;}}int main(){cantor test(4,2);test.decode();cout<<test.s<<endl;}
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