【算法设计与分析】7、0/1背包问题，动态规划

/*** 书本:《算法分析与设计》* 功能:给定n种物品和一个背包，物品i的重量是Wi, 其价值为Vi,问如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？* 文件:beiBao.cpp* 时间:2014年11月30日19:22:47* 作者:cutter_point*/#include <iostream>#define SIZEBEIBAO 20using namespace std;//这个背包问题的最优的子结构是/*首先这里一共有m种物品，背包的总容量是W1、从第n个开始往前面开始计算，初始化第n个即c[n][j] j是背包的容量，从0开始递增到背包最大的容量w则当j >= w的时候吧第n个的价值加上去就是加上Vn   当0 <= j <  w的时候那么低n个不加上去那就是n2、当考虑第i个的时候i < n，那么就分为max{ c[i+1][j] , c[i+1][j-Wi]+Vi} 当j >= Wi就是 m[i+1][j]*///我们用m(i,j)表示为已经判断好了1:i-1的序列的背包最大价值，并且此时的背包剩余的容量为j，对物品i进行判断//n是个数，w是背包最大容量，c[n, w]是背包在n个物品下背包大小是w的最优价值，v是每个的价值，wi是每个的重量int beiBao(int n, int w, int c[SIZEBEIBAO][SIZEBEIBAO], int *v, int *wi){c[SIZEBEIBAO][SIZEBEIBAO] = { 0 };//初始化所有的值//从第n个开始往前面开始计算，初始化第n个for (int i = 0; i <= w; ++i)//容量重0到w的初始化{if (i >= wi[n])//和第n个比较那个重量，只要超过了这个重量那么价值都是Vn{c[n][i] = v[n];}else{c[n][i] = 0;//背包容量达不到，那么最优的价值只能是0}}//这里从第n个开始//物品从第n个往回迭代/*2、当考虑第i个的时候i < n，那么就分为max{ c[i+1][j] , c[i+1][j-Wi]+Vi} 当j >= Wi  c[i+1][j-Wi]+Vi否则就是 m[i+1][j]*/for (int i = n-1; i >= 0; --i){for (int j = 0; j <= w; ++j)//背包容量从小增加到最大{if (j >= wi[i])//当重量达到了这个要求的时候c[i][j] = c[i + 1][j - wi[i]] + v[i];//第i个物品加入背包的时候得到的价值elsec[i][j] = c[i + 1][j];//当第i个不加如背包的时候}}//最终的最优解就是return c[1][w];/*//当物品的数量从1到n的时候for (int i = 1; i <= n; ++i){c[i][0] = 0;//对应的0容量的背包的价值最优肯定是0//不同的重量就会有不同的背包最优价值for (int wx = 1; wx <= w; ++wx){//当对应的重量在增加的时候//这里要判断这个重量是否比背包可以装的容量大,这里物品的数量i的时候if (wi[i] > wx)c[i][wx] = c[i - 1][wx];//2、当Wi > W的时候，第i个的总量>总重量的时候 c[n, w]=c[n-1, w]else //3、当n > 0且 Wi <= w的时候 c[n, w]=MAX{ c[n-1, w], c[n-1, w-Wi]+vi }{//比较这两个中最大的那个int temp = c[i - 1][wx - wi[i]] + v[i];if (c[i - 1][wx] > temp)c[i][wx] = c[i - 1][wx];elsec[i][wx] = temp;}}}*/}//得到背包问题的向量解void qiux(int c[SIZEBEIBAO][SIZEBEIBAO], int *x, int *wi, int w, int n){for (int i = 1; i < n; ++i)//从一个物品到 n个物品{if (c[i][w] == c[i + 1][w])x[i] = 0;//如果加了下一个物品但是最优值没变，说明前面那个没有加入到里面else{x[i] = 1;//如果加了一个物品价值变了，那么说明这个新的物品可以添加到背包里面去//加入后占用了质量w -= wi[i];}}//最后一个物品是否装入看c[n][w]的最后剩余的w是否还够装，由于最后一个c[i][w] == c[i + 1][w]无法判断x[n] = (c[n][w]) ? 1 : 0;}int main(){int wi[4] = {0, 4, 3, 2};int v[4] = { 0, 5, 2, 1 };int n = 3, w = 6;int c[SIZEBEIBAO][SIZEBEIBAO] = { 0 };int x[SIZEBEIBAO] = { 0 };cout << "求得最优的价值是：" << endl;cout << beiBao(n, w, c, v, wi);cout << "则向量x是：" << endl;qiux(c, x, wi, w, n);for (int i = 1; i <= n; ++i)cout << x[i] << " ";cout << endl;return 0;}