算法与数据结构基础10：C++实现——拓扑排序

一 定义

拓扑排序是对有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)顶点的一种排序，
它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中B出现在A的后面。

二 先决条件

能够进行拓扑排序图有两个先决条件：有向、无环，即有向无环图。

三 偏序全序

连通图：任意两点之间都存在至少一条边
偏序：非连通图（有向无环图满足偏序关系）
全序：单连通图

四 结果唯一性

对于仅满足偏序关系的有向无环图中，因为有两个点之间的关系是不确定的，所以导致排序的结果是不唯一的。
满足全序关系的有向无环图，两个点之间存在有向边的，因此排序结果唯一。

五 入度排序

该方法的每一步总是输出当前无前趋(即入度为零)的顶点，输出“拓扑次序”。
其抽象算法可描述为：
NonPreFirstTopSort(G){//优先输出无前趋的顶点
while(G中有入度为0的顶点)do{
　　　　从G中选择一个入度为0的顶点v且输出之；
　　　　从G中删去v及其所有出边；
　　}
　　if(输出的顶点数目<|V(G)|)//若此条件不成立，则表示所有顶点均已输出，排序成功。
Error("G中存在有向环，排序失败！")；
}
注意：
无前趋的顶点优先的拓扑排序算法在具体存储结构下，为便于考察每个顶点的入度，可保存各顶点当前的入度。
为避免每次选入度为0的顶点时扫描整个存储空间，可设一个栈或队列暂存所有入度为零的顶点：
在开始排序前，扫描对应的存储空间，将入度为零的顶点均入栈(队)。以后每次选入度为0的顶点时，只需做出栈(队)操作即可。

六 出度排序

该方法的每一步均是输出当前无后继(即出度为0)的顶点，输出“逆拓扑次序”。
算法的抽象描述为：
NonSuccFirstTopSort(G){//优先输出无后继的顶点
while(G中有出度为0的顶点)do {
从G中选一出度为0的顶点v且输出v；
从G中删去v及v的所有入边
}
if(输出的顶点数目<|V(G)|)
Error("G中存在有向环，排序失败!")；
}

七 深度优先

当从某顶点v出发的DFS搜索完成时，v的所有后继必定均已被访问过(想像它们均已被删除)，
此时的v相当于是无后继的顶点，因此在DFS算法返回之前输出顶点v即可得到 DAG的逆拓扑序列。
其中第一个输出的顶点必是无后继(出度为0)的顶点，它应是拓扑序列的最后一个顶点。
若希望得到的不是逆拓扑序列，可增加T来保存输出的顶点。若假设T是栈，并在DFSTraverse算法的开始处将T初始化，
利用DFS求拓扑序列的抽象算法可描述为：
void DFSTopSort(G，i，T){
//在DisTraverse中调用此算法，i是搜索的出发点，T是栈
int j；
visited[i]=TRUE； //访问i
for(所有i的邻接点j)//即<i，j>∈E(G)
if(!visited[j])
DFSTopSort(G，j，T)；
//以上语句完全类似于DFS算法
Push(&T，i)； //从i出发的搜索已完成，输出i

}

八 代码

只实现了出度的，另外两种差不多，没有写。

// GraphList.h（在此文的代码基础上修改 算法与数据结构基础8：C++实现有向图——邻接表存储）

#include <iostream>#include <cstdio>#include <stack>#include <queue>using namespace std;// 边struct Edge{int vName;int weight;// 权值struct Edge* next;};// 顶点(链表头)struct Vertex{int vName;int in;// 入度int out; // 初度struct Edge* next;};// 有向图class GraphList{public:~GraphList();void createGraph();void printGraph();bool topsortInDegree();bool topsortOutDegree();private:// 1. 输入定点数void inputVertexCount();// 2. 生成定点数组void makeVertexArray();// 3. 输入边数void inputEdgeCount();// 4. 输入边的起始点void inputEdgeInfo();// 5. 添加边节点至对应的链表中void addEdgeToList(int vFrom, int weight, int vTo);private:int m_vCount;int m_eCount;Vertex* m_vVertex;};GraphList::~GraphList(){for (int i = 0; i < m_vCount; ++i){Edge* tmp = m_vVertex[i].next;Edge* edge = NULL;while(tmp){edge = tmp;tmp = tmp->next;delete edge;edge = NULL;}}delete[] m_vVertex;}void GraphList::inputVertexCount(){cout << "please input count of vertex:";cin >> m_vCount;}void GraphList::makeVertexArray(){m_vVertex = new Vertex[m_vCount];// 初始化for (int i = 0; i < m_vCount; ++i){m_vVertex[i].vName = i;m_vVertex[i].next = NULL;m_vVertex[i].in = 0;m_vVertex[i].out = 0;}}void GraphList::inputEdgeCount(){cout << "please input count of edge:";cin >> m_eCount;}void GraphList::inputEdgeInfo(){cout << "please input edge information:" << endl;for (int i = 0; i < m_eCount; ++i){cout << "the edge " << i << ":" << endl;// 起点int from = 0;cout << "From: ";cin >> from;// 权值int weight = 0;cout << "Weight:";cin >> weight;// 终点int to = 0;cout << "To: ";cin >> to;cout << endl;addEdgeToList(from, weight, to);}}void GraphList::addEdgeToList(int vFrom, int weight, int vTo){Edge* edge = new Edge();edge->vName = vTo;edge->weight = weight;edge->next = NULL;Edge* tmp = m_vVertex[vFrom].next;if (tmp){while(tmp->next){tmp = tmp->next;}tmp->next = edge;}else{m_vVertex[vFrom].next = edge;}++m_vVertex[vTo].in;// 终点入度加1++m_vVertex[vFrom].out;// 起点初度加1}void GraphList::printGraph(){for (int i = 0; i < m_vCount; ++i){Edge* tmp = m_vVertex[i].next;cout << "list:" << m_vVertex[i].vName << "(in:" << m_vVertex[i].in << ")"<< "->";while(tmp){cout << "(weight:" << tmp->weight << ")";cout << tmp->vName << "->";tmp = tmp->next;}cout << "NULL" << endl;}}bool GraphList::topsortInDegree(){stack<Vertex*> vertexStack;queue<Vertex*> vertexQueue;int* degree = new int[m_vCount];// 声明一个临时变量，保存入度值，作操作，避免影响原始节点中的数据// 1 统计入度为0的点for(int i = 0; i < m_vCount; ++i){degree[i] = m_vVertex[i].in;if(!degree[i]){vertexStack.push(&m_vVertex[i]);}}int count = 0;while(!vertexStack.empty()){// 保存入度为0的点Vertex* tmp = vertexStack.top();vertexStack.pop();vertexQueue.push(tmp);++count;// 2 从图中删除该结点以及它的所有出边（即与之相邻点入度减1）Edge* edge = tmp->next;while(edge){Vertex* vertex = &m_vVertex[edge->vName];--degree[edge->vName];if (!degree[edge->vName]){vertexStack.push(vertex);}edge = edge->next;}}// 判断是否有环if (count < m_vCount) {return false;}// 输出排序结果while(!vertexQueue.empty()){Vertex* tmp = vertexQueue.front();vertexQueue.pop();cout << tmp->vName << " ";}cout << endl;delete[] degree;return true;}// **************************************************************************// 流程控制// **************************************************************************void GraphList::createGraph(){inputVertexCount();makeVertexArray();inputEdgeCount();inputEdgeInfo();}

// main.cpp

// test for GraphList#include "GraphList.h"#include <cstdlib>int main(){GraphList graph;graph.createGraph();graph.printGraph();graph.topsort();system("pause");return 0;}

假如有图如下：（就是用的前面两节的图）

结果：