动态规划、最短路径、Floyd算法

正如我们所知道的，Floyd算法用于求最短路径。Floyd算法可以说是Warshall算法的扩展，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)。

Floyd算法的基本思想如下：

1. 从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能：1是直接从A到B；2是从A经过若干个节点X到B。
2. 所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立；
3. 如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

求最短路径的代码如下：

for (int k = 0; k < 节点个数; ++k ){    for (int i = 0; i < 节点个数; ++i )    {        for (int j = 0; j < 节点个数; ++j )        {            if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )            {                // 找到更短路径                Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];            }        }    }}

同样Floyd算法其实是采用了动态规划的思想。可应用于求路径数、方案数等问题。

其中一个例子如下：求规定在L的长度内，从a走到b的方案数。

for(k=1; k<=l; k++){<span style="white-space:pre"></span>for(i=1; i<=n; i++){for(j=1; j<=n; j++){if(edge[i][j] == 1){  //如果从i能到达j //第k天到达j的方案数 += 第k-1天到达i的方案数 result[k][j] += result[k-1][i];  }}}}