Codility上的练习（12）

(1) MinMaxDivision

给定一个非负整数数组，每个整数都是[0..M]之间的，你要把它分成K段，（切K - 1刀），段可以为空，每个元素必须属于一段，每段必须包含0个或者多个连续的元素，要求分好和最大段的和尽量小，返回这个尽可能小的最大和。

数据范围 ：N, K [1..10^5]， M [0..10^4]

要求复杂度 时间 O(N * log(N + M)) 空间 O(1)。

分析：典型的二分我们可以。二分一个最大段的和，然后我们一段一段地加，超过要加的值，就开始一段新的。这个方法得力于都是非负整数……

简单说一下复杂度，二分问题的框架就是 二分 ＋ 判断。 判断部分显然是O(N)的。 二分的复杂度取决于二分的区间大小。我们的二分区间左端点可以认为是min(A[i])，也可以认为是0，反正区间大点也关系，右端点最大是N * M，那么二分的复杂度是O(log(N * M)) = O(logN + logM) = O(2 * log(max(M, N)) = O(log(max(M, N)) = O(log (M + N)) 所以算上检测的复杂度就达到要求的那个了。

// you can use includes, for example:// #include <algorithm>// you can write to stdout for debugging purposes, e.g.// cout << "this is a debug message" << endl;bool can(vector<int> &a,int x, int k) {int sum = 0;    --k;    for (int i = 0; i < a.size();) {        if ((sum += a[i]) > x) {            if (--k < 0) {                return false;            }            sum = 0;        }        else {            ++i;        }            }    return true;}int solution(int K, int M, vector<int> &A) {    // write your code in C++98    int left = 0,right = -1;    for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {        right += A[i];        left = max(left, A[i]);            }        while (left <= right) {        int mid = (left + right) >> 1;        if (can(A, mid, K)) {            right = mid - 1;        }        else {            left = mid + 1;        }    }    return right + 1;    }

（2） NailingPlanks

N块木板，可以看作N线段，给定两个长度为N的正整数数组A[],B[]，[A[k],B[k]]表示木板（线段）的起点和终点，A[k] <= B[k]。有M个钉子，它们分别在长度为M的正整数数组里。钉子I可以固定住木板K，当且今当A[K]<=C[I]<=B[K]。问按顺序使用钉子，至少使用前多少个钉子可以固定住所有木板？无解返回-1。

数据范围： 木板数N和M的范围［1..30000]， A B C数组元素范围为[1..2 * M]

要求复杂度： 时间O((N+M)*log(M)) ， 空间O(M)

分析： 一个显然的并且符合要求的算法是二分答案，问题是如何判断，显然我们不能循环木板和钉子。但是我们可以计算从开头到当前位置一共有多少个钉子，这是前缀和的思想。计算前缀和需要O(M)，判断需要O(N)，二分是O(logM)，所以整好是要求的时间复杂度。空间上需要存前缀和O(M)。

代码：

// you can also use includes, for example:// #include <algorithm>int solution(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {    // write your code in C++98    int m = C.size();    int M = (m << 1) | 1;    int left = 0, right = m, result = -1;    while (left <= right) {        int mid = (left + right) >> 1;        vector<int> v;        v.resize(M, 0);        for (int i = 0; i < mid; ++i) {            ++v[C[i]];        }        for (int i = 1; i < M; ++i) {            v[i] += v[i - 1];        }        bool can = true;        for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {            if (v[B[i]] - v[A[i] - 1] == 0) {                can = false;                break;            }        }        if (can) {            result = mid;            right = mid - 1;        }        else {            left = mid + 1;        }    }    return result;}

更快的算法，如果我们建立一个长度为2 * M的数组，每个位置表示该位置上钉子的最小编号（可能同一个位置有多个钉子，取编号最小的），没有钉子的位置值为无穷大。那么固定第i块木板的最小编号钉子，相当于[A[i],B[i]]区间的最小值。但是我们这个题实际上是求这些最小值的max，首先如果一个木板A的覆盖区间完全包含另外一个木板B,则实际上我们只考虑木板B即可。因为固定木板B同时能固定木板A，并且我们一定要固定木板B，即使A覆盖区间有更小的值，也无法改变最终取最大值的结果。

于是，我们可以建立一个数组plank[x]表示右端点为x的木板的最大左边界，没有木板的话，认为边界是0。我们从左到右遍历木板右边界，假设这之前（更左）的木板已经被固定了，已经固定的区间范围是[left,right) (右开区间），然后对当前这个木板，如果显然它的右边界更大（我们遍历右边界是按当增的顺序），如果该木板start <= left,则它已经被前面固定住了，不影响结果。否则，要求[start,end]之间的最大值。这个问题有点像滑动窗口最大值的问题。本质在于：我们不断查询最大值，每次查询的时候窗口的左边界和右有边界是单调递增的，于是我们可以动态更新窗口维护最大值。这个经典问题可以用单调队列实现，这也是把单调队列发挥到了极致。

结论： 查询窗口最大值的时候，如果窗口向右滑动的过程中，查询时左边界和右边界都是单增的，则可以使用单调队列解决。

时间复杂度 O(N + M)达到了线性。

代码：

// you can also use includes, for example:// #include <algorithm>#include <deque>const int inf = 2000000000;int solution(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {    // write your code in C++98    int m = C.size(), M = (m << 1) | 1;    vector<int> nail(M, inf);    for (int i = m - 1; i >= 0; --i) {        nail[C[i]] = i;    }    vector<int> plank(M, 0);    for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {        plank[B[i]] = max(plank[B[i]], A[i]);    }    int left = 0, right = 0, r = 0;    deque<int> q;    for (int i = 1; i < M; ++i) {        if (plank[i] > left) {            left = plank[i];            while ((!q.empty()) && (q.front() < left)) {                q.pop_front();            }            for (right = max(right, left); right <= i; ++right) {                while ((!q.empty()) && (nail[q.back()] >= nail[right])) {                    q.pop_back();                }                q.push_back(right);            }            r = max(r, nail[q.front()]);            if (r >= inf) {                return -1;            }        }    }    return r + 1;}