第五章 树和二叉树

5.1树的逻辑结构

5.1.1树的定义和基本术语

1.树的定义

结点：在树中将数据元素称为结点。

树：N(N>=0)个结点的有限集合。

2.树的基本术语

结点的度：结点所拥有的子树的个数。
 树的度：树中各结点度的最大值。

叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。
 分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。

孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点；
 兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。 

路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为一条由n1至nk的路径；
 路径上经过的边的个数称为路径长度。 

祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点x到结点y，则x称为y的祖先，而y称为x的子孙。

结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩子结点在第k+1层。
 树的深度：树中所有结点的最大层数，也称高度。

层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左到右的次序依次给他们编以从1开始的连续自然数。

有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。

森林：m (m≥0)棵互不相交的树的集合。

5.1.2树的抽象数据类型定义

树的应用很广泛，在不同的实际应用中，树的基本操作不尽相同。下面给出一个树的抽象数据类型定义的例子，简单起见，基本操作只包含树的遍历，针对具体应用，需要重新定义其基本操作。

ADT Tree
Data
     树是由一个根结点和若干棵子树构成，
     树中结点具有相同数据类型及层次关系
Operation

InitTree
        前置条件：树不存在
        输入：无
        功能：初始化一棵树 
        输出：无
        后置条件：构造一个空树
DestroyTree
        前置条件：树已存在
        输入：无
        功能：销毁一棵树
        输出：无
        后置条件：释放该树占用的存储空间 

PreOrder  
         前置条件：树已存在
         输入：无
         功能：前序遍历树
         输出：树的前序遍历序列
         后置条件：树保持不变  
   PostOrder 
         前置条件：树已存在  
         输入：无
         功能：后序遍历树
         输出：树的后序遍历序列
         后置条件：树保持不变
endADT

5.1.3树的遍历操作

树的遍历：从根结点出发，按照某种次序访问树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。 

（1）前序遍历

树的前序遍历操作定义为：
若树为空，则空操作返回；否则
⑴访问根结点；
⑵按照从左到右的顺序前序遍历根结点的每一棵子树

（2）后序遍历

树的后序遍历操作定义为：
若树为空，则空操作返回；否则
⑴按照从左到右的顺序后序遍历根结点的每一棵子树；
⑵访问根结点。 

（3）层序遍历

树的层序遍历操作定义为：
从树的第一层（即根结点）开始，自上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。 

5.2树的存储结构

存储结构：数据元素以及数据元素之间的逻辑关系在存储器中的表示。

5.2.1双亲表示法

基本思想：用一维数组来存储树的各个结点（一般按层序存储），数组中的一个元素对应树中的一个结点，包括结点的数据信息以及该结点的双亲在数组中的下标。 

 

template <class DataType>
struct PNode
{
    DataType data;    //数据域
    int parent;          //指针域，双亲在数组中的下标
} ;

5.2.2孩子表示法

链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，每个指针域指向该结点的一个孩子结点。 

孩子链表的基本思想：把每个结点的孩子排列起来，看成是一个线性表，且以单链表存储，则n个结点共有 n个孩子链表。这 n 个单链表共有 n 个头指针，这 n个头指针又组成了一个线性表，为了便于进行查找采用顺序存储。最后，将存放 n个头指针的数组和存放n个结点的数组结合起来，构成孩子链表的表头数组。  

5.3二叉树的逻辑结构

5.3.1二叉树的定义

二叉树是n(n≥0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：⑴每个结点最多有两棵子树；
⑵二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒。

1.斜树

 1 .所有结点都只有左子树的二叉树称为左斜树；
2 .所有结点都只有右子树的二叉树称为右斜树；
3.左斜树和右斜树统称为斜树。

斜树的特点：1.在斜树中，每一层只有一个结点；
2.斜树的结点个数与其深度相同。

2.满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。

特点：叶子只能出现在最下一层；
只有度为0和度为2的结点。

3.完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同。

在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意个结点，即是一棵完全二叉树。

特点：1.叶子结点只能出现在最下两层且最下层的叶子结点都集中在二叉树的左面；
2. 完全二叉树中如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子。
3. 深度为k的完全二叉树在k-1层上一定是满二叉树。
4. 在同样结点个数的二叉树中，完全二叉树的深度最小。 

5.2.3二叉树的基本性质

性质5-1二叉树的第i层上最多有2i-1个结点（i≥1）

性质5-2  一棵深度为k的二叉树中，最多有2k-1个结点，最少有k个结点。 

深度为k且具有2k-1个结点的二叉树一定是满二叉树，
深度为k且具有k个结点的二叉树不一定是斜树

性质5-3  在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n0，

性质5-4  具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n  +1

性质5-5    对一棵具有n个结点的完全二叉树中从1开始按层序编号，则对于任意的序号为i（1≤i≤n）的结点（简称为结点i），有： 
（1）如果i＞1，则结点i的双亲结点的序号为  i/2；如果i＝1，则结点i是根结点，无双亲结点。 
（2）如果2i≤n，则结点i的左孩子的序号为2i；
如果2i＞n，则结点i无左孩子。 
（3）如果2i+1≤n，则结点i的右孩子的序号为2i+1；如果2i+1＞n，则结点 i无右孩子。 

5.3.4二叉树的遍历操作

（1）前序遍历

若二叉树为空，则空操作返回；否则：
①访问根结点；
②前序遍历根结点的左子树；
③前序遍历根结点的右子树。

（2）中序遍历

若二叉树为空，则空操作返回；否则：
①中序遍历根结点的左子树；
②访问根结点；
③中序遍历根结点的右子树。 

（3）后序遍历

若二叉树为空，则空操作返回；否则：
①后序遍历根结点的左子树；
②后序遍历根结点的右子树。
③访问根结点；

（4）层序遍历

二叉树的层次遍历是指从二叉树的第一层（即根结点）开始，从上至下逐层遍历，在同一层中，则按从左到右的顺序对结点逐个访问。

5.4二叉树的存储结构和实现

5.4.1顺序存储结构

 二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置（下标）应能体现结点之间的逻辑关系——父子关系。 

完全二叉树和满二叉树中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系。

5.4.2二叉链表

基本思想：令二叉树的每个结点对应一个链表结点，链表结点除了存放与二叉树结点有关的数据信息外，还要设置指示左右孩子的指针。 

template <class DataType>
struct BiNode
{
    DataType data;
    BiNode<T> *lchild, *rchild;
};

1.前序遍历

template <class DataType>
struct BiNode
{
    DataType data;
    BiNode<T> *lchild, *rchild;
};

2.中序遍历

 

emplate <class DataType>
void BiTree<DataType> :: InOrder (BiNode<DataType> *bt)
{
     if (bt == NULL) return;                 //递归调用的结束条件
     else {
         InOrder(bt->lchild);                 //中序递归遍历bt的左子树
         cout << bt->data;                      //访问根结点bt的数据域
         InOrder(bt->rchild);                //中序递归遍历bt的右子树
    }

3.后序遍历

template <class DataType>
void BiTree<DataType> :: PostOrder(BiNode<DataType> *bt)
{ 
     if (bt == NULL) return;                //递归调用的结束条件
     else {
         PostOrder(bt->lchild);              //后序递归遍历bt的左子树
         PostOrder(bt->rchild);             //后序递归遍历bt的右子树
         cout << bt->data;                      //访问根结点bt的数据域
    }

4.层序遍历

template <class DataType>
void BiTree<DataType> :: LeverOrder( )
{
     front = rear = -1;        //采用顺序队列，并假定不会发生上溢
     if (root == NULL) return;        //二叉树为空，算法结束
     Q[++rear] = root;                      //根指针入队
     while (front != rear)                  //当队列非空时
     {
          q = Q[++front];                    //出队
          cout << q->data;   
          if (q->lchild != NULL)  Q[++rear] = q->lchild;
          if (q->rchild != NULL)  Q[++rear] = q->rchild;
     }

5.构造函数

设二叉树中的结点均为一个字符。假设扩展二叉树的前序遍历序列由键盘输入，root为指向根结点的指针，二叉链表的建立过程是：
首先输入根结点，若输入的是一个“#”字符，则表明该二叉树为空树，即root=NULL；否则输入的字符应该赋给root->data,，之后依次递归建立它的左子树和右子树。

5.5二叉树的非递推算法

5.5.1前序遍历的非递推算法

template <class DataType>
void BiTree::PreOrder(BiNode<DataType> *root) 
{
     top = -1;      //采用顺序栈，并假定不会发生上溢
     while (root != NULL || top != -1)
     {
         while (root != NULL)
         {
             cout<<root->data;
             s[++top] = root;
             root = root->lchild;  
         }
         if (top != -1) { 
             root = s[top--];
             root = root->rchild;  
         }
     }
}

5.5.2中序的非递推算法

template <class DataType>
void BiTree::PreOrder(BiNode<DataType> *root) 
{
     top = -1;      //采用顺序栈，并假定不会发生上溢
     while (root != NULL || top != -1)
     {
         while (root != NULL)
         {             
             s[++top] = root;
             root = root->lchild;  
         }
         if (top != -1) { 
             root = s[top--]; 
             cout<<root->data;
             root = root->rchild;  
         }
     }
}

5.5.3后序遍历的非递推算法

template <class DataType>
void BiTree<DataType> :: PostOrder(BiNode<DataType> *bt) 
{
    top = -1;                                   //采用顺序栈，并假定栈不会发生上溢
    while (bt != NULL || top != -1)          //两个条件都不成立才退出循环
    {
         while (bt != NULL)
         {
              top++; s[top].ptr = bt; s[top].flag = 1;  //root连同标志flag入栈
              bt = bt->lchild;  
          }
          while (top != -1 && s[top].flag == 2)  
          {
              bt = s[top--].ptr; cout << bt->data;
          }
          if (top != -1) {
              s[top].flag = 2; bt = s[top].ptr->rchild;
         }
    }
}

5.6树，森林与二叉树的转换

1.树转化成二叉树

⑴加线——树中所有相邻兄弟之间加一条连线。 
⑵去线——对树中的每个结点，只保留它与第一个孩子结点之间的连线，删去它与其它孩子结点之间的连线。 
⑶层次调整——以根结点为轴心，将树顺时针转动一定的角度，使之层次分明。 

2.森林转化成二叉树

⑴将森林中的每棵树转换成二叉树；
⑵从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。

3.二叉树转化成森林或树

⑴加线——若某结点x是其双亲y的左孩子，则把结点x的右孩子、右孩子的右孩子、……，都与结点y用线连起来；
⑵去线——删去原二叉树中所有的双亲结点与右孩子结点的连线；
⑶层次调整——整理由⑴、⑵两步所得到的树或森林，使之层次分明。