幂取模

求a^b%c的结果，

方法一：

    a*b%c = ((a%c)*b)%c；

代码如下：

int work(int a, int b, int c){    int res = 1;    for (int i = 0; i < b; i ++) {        res = res * a % c;    }    return res;}

但是这种方法复杂度太高，不适合大数据运算，下面介绍一种更快的方法。

方法二：

b可以表示成二进制的形式，我们用p数组表示相应位权的数值（或二进制数），用2的指数次方表示位权，则

b = p[i]*2^i + p[i-1]*2^(i-1) + p[i-2]*2^(i-2) + ... + p[1]*2^1 + p[0]*2^0

我们知道相邻位置，高位权是低位权的2倍，所以在p[i] === 1的情况下，相邻两位高位是低位的两倍。

a^b = a^( p[i]*2^i + p[i-1]*2^(i-1) + p[i-2]*2^(i-2) + ... + p[1]*2^1 + p[0]*2^0 )

      = a^( p[i]*2^i ) * ( a^( p[i-1]*2^(i-1) ) ) * ( a^( p[i-2]*2^( i-2 ) ) )*...*( a^( p[1]*2^1 ) ) * (a^(p[0]*2^0))

有上我们知道表达式相邻两位在p[i] === 1的情况下，高位是低位的平方。

即：a^( p[i]*2^i ) =  ( a^( p[i-1]*2^(i-1) ) ) * ( a^( p[i-1]*2^(i-1) ) ) ;

又有上面的表达式我们知道，当p[i] = 0时，a^( p[i]*2^i ) = a ^ 0 = 1;

所以我们只要p[i] = 1的时候，表达式乘以a^( p[i]*2^i )

我们得到下面的代码：

int mod_exp(int a, int b, int c)        a^b%c{    int res, t;    res = 1 % c;    t = a % c;    while (b)    {        if (b & 1)        {            res = res * t % c;        }        t = t * t % c;        b >>= 1;    }    return res;}

因为我们只需要判断相应位置是否为1，我们可以知道二进制数的2^0位的权值为1，则这个是一定是奇数，所以我们可以得到下面的代码：

int mod_exp(int a, int b, int c)       a^b%c{    int res, t;    res = 1 % c;    t = a % c;    while (b)    {        if (b % 2)        {            res = res * t % c;        }        t = t * t % c;        b /= 2;    }    return res;}

这个代码易于理解，但是效率略差于上面的代码(其实也没差多少)。

注：位运算是运算器的基本操作，不需要调用累加器，而乘除是比较复杂的，基于加法运算，需要调用累加器！