幂取模

幂取模（RSA公钥的加密方法）

这种方法利用了一种分治的思想，达到了O（log（n））！

对于形如a^b%c的式子：

可以把b按二进制展开为b=p(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(1)*2+p(0) 
其中p(i) (0<=i<=n)为0或1 
这样a^b=a^(p(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(1)*2+p(0)) 
       =a^(p(n)*2^n)*a^(p(n-1)*2^(n-1))*...*a^(p(1)*2)*a^p(0) 
对于p(i)=0的情况,a^p(i)*2^(i-1)=a^0=1,不用处理 
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况 
a^(2^i)=(a^(p(i)*2^(i-1)))^2 
利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i) 
我们加上取模运算a^(2^i)%c=((a^(2^(i-1))%c)*a^(2^(i-1)))%c 
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果！

当然也可以进一步的改进，可以不用存b的二进制，可以边求边用!

代码如下：

int mod(int a,int b,int c)
{   
 int k=1;
 if(b==0) return 1%c;
 while(b>=1)
 {
  if(b%2!=0) k=a*k%c;
  a=a*a%c;////////如果a*a会超过int的范围，可以改为a=（（a%c）*（a%c））%c；
  b/=2;
 }
 return k;
}

pku 1995 就是单纯的幂取模！

代码如下：

 1 # include<stdio.h> 2  int mod(int a,int b,int c) 3 {    4  int k=1; 5  if(b==0) return 1%c; 6  while(b>=1) 7  { 8   if(b%2!=0) k=a*k%c; 9   a=((a%c)*(a%c))%c;////由于a比较大！10    b/=2;11  }12  return k;13 }14 int main()15 {16  int i,t,M,A[45005],B[45004],H,sum;17  scanf("%d",&t);18  while(t--)19  {20   scanf("%d%d",&M,&H);21   sum=0;22   for(i=1;i<=H;i++)23   {24    scanf("%d%d",&A[i],&B[i]);25    sum+=mod(A[i],B[i],M);26    sum%=M;27   }28   printf("%d\n",sum);29  }30  return 0;31 }32