LeetCode OJ 之 Unique Paths （不同路径）

题目：

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

一个机器人位于一个m x n 的格子的左上端，这个机器人每次只能向下或者向右移动一步。这个机器人尝试到达格子的右下端，请问有多少种不同的路径？

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

思路：

1、动态规划法

设状态 f[i][j]表示从起点(1 , 1)到达 ( i, j ) 的路线条数，则状态转移方程为：
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]

代码：

class Solution {public:    //动态规划法，状态转移方程为f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-1][j]    int uniquePaths(int m, int n)    {        if(m < 1 || n < 1)            return 0;        //定义二维数组f[m][n]        vector<vector<int> > f(m , vector<int>(n , 0));        //初始化第一行        for(int i = 0 ; i < n ; i++)        {            f[0][i] = 1;        }        //初始化第一列        for(int j = 0 ; j < m ; j++)        {            f[j][0] = 1;        }        //求状态转移结果，按行求        for(int i = 1 ; i < m ; i++)        {            for(int j = 1 ; j < n ; j++)            {                f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-1][j];            }        }        return f[m-1][n-1];    }};

2、优化动态规划法的空间复杂度。用一维数组代替二维数组。

class Solution {public:    //动态规划法，状态转移方程为f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-1][j]    int uniquePaths(int m, int n)    {        if(m < 1 || n < 1)            return 0;        vector<int> f(n , 0);        f[0] = 1;        //按行求        for(int i = 0 ; i < m ; i++)        {            //根据上一行保存的f 求当前行的f，当前行的f[j] 等于在上一行保存的f[j]的基础上再加上当前行的前一个，即f[j-1]            //即下式中左边的 f[j] ，表示当前行的 f[j] ，与公式中的 f[i[[j] 对应            //右边的 f[j] ，表示上一行保存的的 f[j] ，与公式中的 f[i-1][j] 对应            //而f[j-1] 为当前行的f[j-1],之前已经求出            for(int j = 1 ; j < n ; j++)            {                f[j] = f[j] + f[j-1];            }        }        return f[n-1];    }};

3、DFS

class Solution {public:    // 深搜，小集合可以过，大集合会超时    // 时间复杂度 O(n^4) ，空间复杂度 O(n)    int uniquePaths(int m, int n)    {        if(m < 1 || n < 1)            return 0;        if(m == 1 && n ==1)            return 1;        return uniquePaths(m-1,n) + uniquePaths(m,n-1);    }};