《算法设计与分析》学习笔记_第六章_最长单调递增子序列个数问题

最长递增子序列问题：在一列数中寻找一些数，这些数满足：任意两个数a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，这样最长的子序列称为最长递增子序列。

   设dp[i]表示以i为结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程为：

dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j<i,a[j]<a[i].

   这样简单的复杂度为O(n^2)，其实还有更好的方法。

   考虑两个数a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，当a[t]要选择时，到底取哪一个构成最优的呢？显然选取a[x]更有潜力，因为可能存在a[x]<a[z]<a[y]，这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示，当dp[t]一样时，尽量选择更小的a[x].

    按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设d[k]记录这个值，d[k]=min{a[t],dp[t]=k}。

    这时注意到d的两个特点（重要）：

1. d[k]在计算过程中单调不升；           

2. d数组是有序的，d[1]<d[2]<..d[n]。

    利用这两个性质，可以很方便的求解：

1. 设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），每次读入一个新元素x：

2. 若x>d[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；（利用性质2）

   否则，在d中二分查找，找到第一个比x小的数d[k]，并d[k+1]=x，在这里x<=d[k+1]一定成立（性质1,2）。

// LIS.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。//#include "stdafx.h"#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int N = 10001;int a[N], d[N];int BinSearch(int key, int *d, int low, int high){while (low <= high){int mid = (low + high) / 2;if (key > d[mid] && key <= d[mid + 1]){return mid;}else if (key > d[mid]){low = mid + 1;}elsehigh = mid - 1;}return 0;}int LIS(int *a, int n, int *d){int i, j, len = 1;d[0] = a[0];for (i = 1; i < n; i++){if (d[len - 1] < a[i]){j = len++;}else{j = BinSearch(a[i], d, 0, len) + 1;}d[j] = a[i];}return len;}int main(){int i, p;cin >> p;for (i = 0; i < p; i++){cin >> a[i];}cout << LIS(a, p, d) << endl;return 0;}