数学基础知识

期望

题：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

注：无概率论知识的浏览者可以这样理解。甲在前三局中胜了两局，如果继续比赛的话，第四局甲获胜的几率是1/2（因为他们两人获胜几率相等，都是1/2），如果甲在第四局输了的话，那么甲在第五局获胜的几率则是第四局输的几率（1/2）乘以第五局赢的几率(1/2)，则总体甲获胜几率是他 ‘第四局赢的几率’ 加上 ‘第四局输的几率乘以第五局胜的几率’ 即1/2+(1/2)*(1/2)=3/4。而乙要想胜的话要连赢两局才可以，所以是(1/2)*(1/2)=1/4。

定义：

按照定义,离散随机变量的一切可能值与其对应的概率P的乘积之和称为数学期望,记为咐.如果随机变量只取得有限个值:x,、π

随机变量的数学期望值

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。）

单独数据的数学期望值算法

对于数学期望的定义是这样的。数学期望

E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn)

X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：

E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)

很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。

我们举个例子，比如说有这么几个数：

1，1，2，5，2，6，5，8，9，4，8，1

1出现的次数为3次，占所有数据出现次数的3/12,这个3/12就是1所对应的频率。同理，可以计算出f(2) = 2/12,f(5) = 2/12 , f(6) = 1/12 , f(8) = 2/12 , f(9) = 1/12 , f(4) = 1/12 根据数学期望的定义：

E(X) =1*f(1)+ 2*f(2) + 5*f(5) + 6*f(6) + 8*f(8) + 9*f(9) + 4*f(4) = 13/3

所以 E(X) = 13/3,

现在算这些数的算术平均值：

Xa = (1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1)/12 = 13/3

所以E(X) = Xa = 13/3

导数

    第一定义

设函数

 在点

 的某个邻域内有定义，当自变量

 在

 处有增量

 (

 也在该邻域内)时，相应地函数取得增量

 ；如果

 与

 之比当

 时极限存在，则称函数

 在点

 处可导，并称这个极限值为函数

 在点

 处的导数记为

 ，即

也记作

 ，

 ，或

 。

第二定义

设函数

 在点

 的某个邻域内有定义，当自变量

 在

 处有变化

 (

 ，

 也在该邻域内)时，相应地函数变化

 ；如果

 与

 之比当

 时极限存在，则称函数

在点

 处可导，并称这个极限值为函数

 在点

 处的导数记为

 ，即

导函数

如果函数

 在开区间I内每一点都可导，就称函数

 在区间I内可导。这时函数

 对于区间I内的每一个确定的

 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数

的导函数，记作

 ，

 ，

 ，

 。导函数简称导数。

几何意义

函数

 在

 点的导数

 的几何意义：表示函数曲线在点

 处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

其他参考 http://baike.baidu.com/link?url=wgkfNBmXgUwzpTUzBuO3nOPTcw2_JWrEo07-2fEPZGeSd7A35PR2ADh7EJZVqF9jBZQYruhhR8F26XYFS5nah_

可微函数

一个可微函数的图像

在微积分学中，可微函数是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

一般来说，若X₀是函数ƒ定义域上的一点，且ƒ′(X₀)有定义，则称ƒ在X₀点可微。这就是说ƒ的图像在(X₀, ƒ(X₀))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。

可微性与连续性

魏尔斯特拉斯函数连续，但在任一点都不可微

若ƒ在X₀点可微，则ƒ在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。