最大流最小割

网络流

在上一章中我们讨论的主题是图中顶点之间的最短路径，例如公路地图上两地点之间的最短路径，所以我们将公路地图抽象为有向带权图。本章我们将对基于有向带权图的模型做进一步扩展。

很多系统中涉及流量问题，例如公路系统中车流量，网络中的数据信息流，供油管道的油流量等。我们可以将有向图进一步理解为“流网络”(flow network)，并利用这样的抽象模型求解有关流量的问题。

 

图 电路原理图可抽象为网络流

流网络中每条有向边可以认为是传输物质的管道，每个管道有固定的容量，可以看作是物质能够流经该管道的最大速度。顶点是管道之间的交叉连接点，除了汇点之外，物质只流经这些点，不会再顶点滞留或消耗。也就是说，物质进入某顶点的速度必须等于离开该顶点的速度。这一特性被称为“流守恒”(flow conservation)。例如图中的电路原理图，根据基尔霍夫电流定律，在每个交叉连接点出，流进的电流等于流出的电流。电流的定义为单位时间内通过导线某一截面的电荷量，即为电荷的流动速度。所以，用流守恒的观点可以理解为：电荷量流进某交叉顶点的速度等于离开该顶点的速度。

在本章我们将讨论最大流问题，这是流网络中最简单的问题：在不违背容量限制的条件下，求解把物质从源点传输到汇点的最大速率。本章主要介绍流网络和流的基本概念和性质，并提供流网络的数据结构描述和实现，以及一种解决最大流的经典方法及其算法实现，即Ford-Fulkerson方法。

.1 流网络

网络流G=(v, E)是一个有向图，其中每条边(u, v)均有一个非负的容量值，记为c(u, v) ≧ 0。如果(u, v) ∉ E则可以规定c(u, v) = 0。网络流中有两个特殊的顶点，即源点s和汇点t。

与网络流相关的一个概念是流。设G是一个流网络，其容量为c。设s为网络的源点，t为汇点，那么G的流是一个函数f：V×V →R，满足一下性质：

l 容量限制：对所有顶点对u，v∈V，满足f(u, v) ≦ c(u, v)；

l 反对称性：对所有顶点对u，v∈V，满足f(u, v) = - f(v, u);

l 流守恒性：对所有顶点对u∈V-{s, t}，满足Σv∈Vf(u,v)=0。

f(u, v)称为从顶点u到顶点v的流，流的值定义为：

|f| =Σv∈Vf(s,v)，

即从源点s出发的总的流。

在最大流问题中，我们需要求解源点s到汇点t之间的最大流f(s, t)，同时我们还希望了解达到该值的流。对于一个指定的源点s和指定汇点t的网，我们称之为st-网。

如图所示为一个流网络，其中顶点之间的边的粗细对应着边的容量大小。

 

 

 

 

图 有向图表示网络流

下面以图为例，在流的三个性质条件下尝试性地寻找图中的最大流，如图(a~c)。

 

 

 

 

 

从上图(a~c)中可以发现，流网络从源点s流出的量依次为2,3,5，而流入汇点t的流量也2,3,5。事实上，任何流从s流出量总应该等于到汇点t的流入量，下面对这一命题做简单证明。

 

 

 

构造：如图(a)，对原流网络做扩展，增加顶点s’和一条边(s’, s)，边的流和容量都与从s流出的流的值相等；增加顶点t’和一条边(t, t’)，边的流和容量都与到t的流的值相等。

我们要证明s’的流出量等于t’的流入量，只要证明对任意顶点集合，流出量等于流入量即可。采用归纳证明。

证明：对于单个顶点构成的顶点集合，其流出量必然等于流出量；假设，对于一给定的顶点集合A此属性成立，则需要验证增加一个顶点v后得到的新的集合A’=A∪{v}也满足此属性。

如图，对集合A，从v流入的流记为f3，其它的流入量合计为f1；流出到v的流记为f4，其它的流出流量合计为f6。注意，这里的流都指的是流的值，都是非负的。

A的流入量为fin(A) = f1 + f3，流出量为fout(A) = f2 + f4；根据假设可以得出关系：

f1 + f3 = f2 + f4；

对顶点v，根据流的第二条性质，得出关系：

f6 + f3 = f5 + f4。

根据上面两个等式，可以得到关系：

f1 – f6 = f2 – f5，

即：

f1 + f5 = f2 + f6。

A’的流入量fin(A’) = f1 + f5，流出量fout(A’) = f2 + f6，所以集合A’满足属性。

将这个属性应用于扩展前的原始流网络中的所有顶点，可以得出边(s’, s)上的流等于边(t’, t)上的流，也就是从s流出量等于到汇点t的流入量。

.2 Ford-Fulkerson方法

本节开始讨论解决最大流问题的Ford-Fulkerson方法，该方法也称作“扩充路径方法”，该方法是大量算法的基础，有多种实现方法。在以后章节中我们将介绍并分析一种特定的算法。

Ford-Fulkerson算法是一种迭代算法，首先对图中所有顶点对的流大小清零，此时的网络流大小也为0。在每次迭代中，通过寻找一条“增广路径”(augument path)来增加流的值。增广路径可以看作是源点s到汇点t的一条路径，并且沿着这条路径可以增加更多的流。迭代直至无法再找到增广路径位置，此时必然从源点到汇点的所有路径中都至少有一条边的满边（即边的流的大小等于边的容量大小）。

这里提及一个新的概念，即“增广路径”。下面我们将进一步引入“残留网络”(residual network)来讨论增广路径的寻找算法，并引入“最大流最小割”(Max-Flow Min Cut)定理来证明Ford-Fulkerson算法的正确性。

.2.1 残留网

给定一个流网络G和一个流，流的残留网Gf拥有与原网相同的顶点。原流网络中每条边将对应残留网中一条或者两条边，对于原流网络中的任意边(u, v)，流量为f(u, v)，容量为c(u, v)：

l 如果f(u, v) > 0，则在残留网中包含一条容量为f(u, v)的边(v, u);

l 如果f(u, v) < c(u, v)，则在残留网中包含一条容量为c(u, v) - f(u, v)的边(u, v)。

残留网允许我们使用任何广义图搜索算法来找一条增广路径，因为残留网中从源点s到汇点t的路径都直接对应着一条增广路径。以图为例，具体分析增广路径及其相应残留网，如图(a~d)。

 

 

 

(a)原始图流网络，每条边上的流都为0。因为f(u, v) = 0 < c(u, v)，则在残留网中包含容量为c(u, v)的边(u, v)，所以此时残留图中顶点与原始流网络相同，边也与原始流网络相同，并且边的容量与原始流网络相同。

 

    在残留网中可以找到一条增广路径<v0, v1, v3, v5>，每条边的流为2，此原始流网络和残留网中相应的边会有所变化，如下图。

 

 

 

(b)在操作(a)之后，路径<v0, v1, v3, v5>上有了大小为2的流，此时需要对残留图中相应的边做调整：

f(0, 1) > 0，在残留图中有容量为2的边(1, 0)；

c(1, 3) > f(1, 3) > 0，在残留图中有容量为1的边(1, 3)和容量为2的边(3, 1)；

f(3, 5) > 0，在残留图中有容量为2的边(5, 3).

在残留网中可以找到一条增广路径<v0, v2, v4, v5>，每条边的流为1，此原始流网络和残留网会有所变化，如下图。

 

 

 

(c)在操作(b)之后，路径<v0, v2, v4, v5>上有了大小为1的流，此时需要对残留图中相应的边做调整：

c(0, 2) > f(0, 2) > 0，在残留图中有容量为2的边(0, 2)和容量为1的边(2, 0)；

f(2, 4) > 0，在残留图中有容量为1的边(4, 2)；

c(4, 5) > f(4, 5) > 0，在残留图中有容量为2的边(4, 5)和容量为1的边(5, 4).

进一步在残留网中可以找到一条增广路径<v0, v2, v3, v1, v4, v5>，每条边的流为1，此原始流网络和残留网会有所变化，如下图。

 

 

 

(d)在操作(c)之后，路径<v0, v2, v3, v1, v4, v5>上有了大小为1的流，此时需要对残留图中相应的边做调整：

c(0, 2) > f(0, 2) > 0，在残留图中有容量为1的边(0, 2)和容量为2的边(2, 0)；

f(2, 3) > 0，在残留图中有容量为1的边(3, 2)；

c(3, 1) > f(3, 1) > 0，在残留图中有容量为1的边(3, 1)和容量为2的边(1, 3)；

f(1, 4) > 0，在残留图中有容量为1的边(4, 1)；

c(4, 5) > f(4, 5) > 0，在残留图中有容量为1的边(4, 5)和容量为2的边(5, 4)；

此时残留图中无法再找到顶点0到顶点5的路径，则迭代结束，我们认为图d中即为寻找到的最大流。

 

2 最大流最小割

我们刚刚讨论了基于残留网的增广路径的寻找方法，这里我们将证明Ford-Fulkerson算法迭代停止时得到的流是最大流，即一个流是最大流，当且仅当残留网中不包含增广路径。该命题的证明需要借助于流网络中的一个重要定理，即最大流最小割定理。

流网络G=(V, E)的割(S, T)将V分为S和T=V-S两个部分，使得源点s∈S，汇点t∈T。如果f是一个流，则穿过割(S, T)的流用f(S, T) = Σu∈SΣv∈T f(u, v)表示，割(S, T)的容量用C(S, T) = Σu∈SΣv∈T c(u, v)。如图，流网络的一个割为({s, v1, v2},{v3, v4, t})

 

 

 

 

图 (a)流网络每条边上是容量大小      (b)流网络的一个割，边上是流的大小

通过该割的流量为：

f(S, T) = Σu∈{s, v1, v2}Σv∈{v3, v4, t} f(u, v)

  = f(v1, v3) + f(v2, v3) + f(v2, v4)

  = 12 + (-4) + 11 = 19

容量为：

C(S, T) = Σu∈{s, v1, v2}Σv∈{v3, v4, t} c(u, v)

  = c(v1, v3) + c(v2, v4)

  = 12 + 14 = 26

其中割的流可能是正数也可能是负数，而容量一定是非负的。在流网络中，每个割的流都是相同的，其值等于流网络的流的值；并且每个割的流都不大于割的容量。

如图，s’为扩展的顶点，其中边(s’, s)的流和容量都等于顶点s的流出量，记为f1。虚线将流网络分为两个集合S和T，形成割(S, T)。从S流出的流量为f2，流入S的流量为f3。在第一节中我们证明了流网络中的顶点集合的流入量等于流出量，所以f1 + f2 = f3。

即f1 = f3 – f2，其中f1等于流网络的流的值，f3-f2为割(S, T)的流量，所以，割的流等于流网络的流的值。

 

 

 

 

在上图中，计算割(S, T)的流量时f3的提供正的流量值，而f2提供的是负的流量值，并且在计算割的容量时只有提供流量f3的边的容量参与相加，根据流的第一条性质，f3的值不会大于割的容量，所以：

f(S, T) = f3 – f2 ≦ f3 ≦ C(S, T)。

由于流网络中所有割的流都相等并且等于网络的流，所有网络的任何流的值都不大于任何一个割的容量。

根据上面对流网络的中割的概念的介绍，下面引入最大流最小割定理，并利用该定理说明Ford-Fulkerson算法的正确性。

最大流最小割定理：一个网中所有流中的最大值等于所有割中的最小容量。并且可以证明一下三个条件等价：

l f是流网络G的一个最大流；

l 残留网Gf不包含增广路径；

l G的某个割(S, T)，满足f(S, T) = c(S, T).

证明: 

1.（反证法）假设f是G的最大流，但是Gf中包含增广路径p。显然此时沿着增广路径可以继续增大网络的流，则f不是G的最大流，与条件矛盾；

2.假设Gf中不包含增广路径，即Gf中不包含从s到t的路径。定义：

S = {v∈V:Gf中包含s到v的路径}，

令T = V – S，由于Gf中不存在从s到t的路径，则t∉S，所以得到G的一个割(S, T)。对每对顶点u∈S，v∈T，必须满足f(u, v) = c(u, v)，否则边(u, v)就会存在于Gf的边集合中，那么v就应当属于S（而事实上是v∈T）。所以，f(S, T) = c(S, T)；

3.我们已经证明，网络的任何流的值都不大于任何一个割的容量，如果G的某个割(S, T)，满足f(S, T) = c(S, T)，则说明割(S, T)的流达到了网络流的上确界，它必然是最大流。

Ford-Fulkerson算法的迭代终止条件是残留网中不包含增广路径，根据上面的等价条件，此时得到的流就是网络的最大流。